Calcule o seguinte determinante. Escreva sua resposta como um polinômio em x.
\left|\begin{array}{ccc}
a-x & b & c \\
1 & -x & 0 \\
0 & 1 & -x
\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
\begin{pmatrix} a-x & b & c \\\\ 1 & -x & 0 \\\\ 0 & 1 & -x \end{pmatrix}
e escrever o resultado como um polinômio em x.
Informações dadas:
Os símbolos a, b e c são constantes (não dependem de x).
A incógnita na qual o determinante deve ser expresso é x.
A matriz é 3\times3 com entradas explícitas conforme acima.
O que se pede:
Calcular \det\left(\begin{smallmatrix}a-x & b & c \\[4pt] 1 & -x & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -x\end{smallmatrix}\right) e apresentar o resultado como um polinômio em x.]
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática):
Para matrizes 3\times3 uma forma direta de calcular o determinante é a regra de Laplace (fórmula direta para 3\times3). Vou usar a expansão pela primeira linha, que diz o seguinte.
Nessa expressão, cada termo m_{1j} é multiplicado pelo determinante da submatriz que sobra ao retirar a primeira linha e a coluna j; esses determinantes são chamados de menores, e os sinais +,-,+ vêm dos cofatores.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Identificamos
m_{11}=a-x,\quad m_{12}=b,\quad m_{13}=c,
e as menores (determinantes das submatrizes 2\times2) são calculadas uma a uma.
Menor correspondente a m_{11}:
\begin{vmatrix} - x & 0\\[4pt] 1 & - x \end{vmatrix} = (-x)(-x)-0\cdot 1 = x^{2}.
Agora montamos o determinante com os sinais +,-,+:
\det = (a-x)\cdot x^{2} - b\cdot(-x) + c\cdot 1.
Simplificando cada termo:
(a-x)x^{2} = a x^{2} - x^{3},
e
- b\cdot(-x)= b x.
Somando tudo:
\det = a x^{2} - x^{3} + b x + c.
Organizando em ordem decrescente de x:
\det = -x^{3} + a x^{2} + b x + c.
Passo 5
Checagem rápida (sanity check):
Se x=0, a matriz fica \begin{pmatrix}a & b & c\\[4pt]1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix} e o determinante calculado dá c, que confere com a fórmula -0^{3}+a\cdot0^{2}+b\cdot0+c=c. Boa sinalização de consistência.]