Calcule os seguintes determinantes por inspeção:
\left|\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3\times3
\left|\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right|.
Informações dadas: todos os elementos da matriz estão explicitados acima. A tarefa é encontrar o valor do determinante desse 3\times3.

Passo 2

Vamos lembrar uma maneira prática de calcular determinantes de 3\times3: a expansão por cofactores (expansão de Laplace) ao longo de uma linha ou coluna. A fórmula geral para expandir pela linha i é
\det(A)=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j, e M_{ij} é a matriz 2\times2 obtida ao eliminar a linha i e a coluna j. A ideia prática: escolhe-se uma linha ou coluna com muitos zeros para simplificar — a contribuição desses termos é zero.

Passo 3

Observando a primeira linha da matriz, vemos que ela tem dois zeros: a_{12}=0 e a_{13}=0. Isso torna conveniente expandir pela primeira linha ( i=1). Pela expansão:
\det(A)=(-1)^{1+1}a_{11}\det(M_{11})+(-1)^{1+2}a_{12}\det(M_{12})+(-1)^{1+3}a_{13}\det(M_{13}).
Substituindo os elementos da primeira linha:
\det(A)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13}).
Como a_{12}=0 e a_{13}=0, suas contribuições são nulas, restando apenas o primeiro termo com a_{11}=3:
\det(A)=3\det(M_{11}).

Passo 4

Agora calculamos o menor M_{11}, que é a matriz 2\times2 obtida retirando a linha 1 e a coluna 1:
M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}p & q \\[4pt] r & s\end{pmatrix}
é dado por \det=\,ps-qr. Aplicando isso a M_{11}:
\det(M_{11})=1\cdot2-1\cdot2=2-2=0.]

Passo 5

Voltando à expansão,
\det(A)=3\det(M_{11})=3\cdot0.
Além desse cálculo, dá para ver uma razão simples para o resultado: as colunas 2 e 3 da matriz são idênticas (ambas são \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix}); sempre que uma matriz tem duas colunas iguais o determinante é zero. Isso confirma o resultado obtido pela expansão.]

Resposta

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