Calcule os seguintes determinantes por inspeção:
\left|\begin{array}{llll}4 & 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 0 & 4 & 2 \\\\ 2 & 0 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 2 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 4\times4
\begin{vmatrix} 4 & 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 0 & 4 & 2 \\\\ 2 & 0 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz é 4\times4.
  • A segunda coluna é formada por quatro zeros: os elementos \,a_{12}=0,\;a_{22}=0,\;a_{32}=0,\;a_{42}=0.
  • A tarefa: calcular o valor do determinante dessa matriz.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): expansão por cofactores ao longo de uma coluna diz que, para uma matriz A=(a_{ij}),
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij},
onde M_{ij} é o menor de ordem n-1 obtido eliminando a linha i e a coluna j. Aqui podemos escolher qualquer coluna; escolhemos a segunda coluna porque ela tem muitos zeros (na verdade todos os seus elementos são zero).

Passo 3

Aplicando a expansão por cofactores ao longo da segunda coluna ( j=2) temos
\det(A)=\sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+2} a_{i2} M_{i2}.
Mas, conforme observado no Passo 1, cada a_{i2}=0 para i=1,2,3,4. Então cada termo da soma é 0\cdot(\text{algo})=0. Portanto a soma inteira é zero.

Passo 4

Explicação alternativa e intuição (útil para a prova): o determinante mede se as colunas (ou linhas) são linearmente independentes. Se uma coluna é o vetor zero, então as colunas são linearmente dependentes (uma coluna é combinação trivial das outras) e isso força o determinante a ser zero. Esse é um atalho rápido: coluna nula ⇒ determinante nulo.

Passo 5

Exemplo simples para fixar a ideia: para uma matriz 2\times2
\begin{vmatrix} a & 0 \\\ b & 0 \end{vmatrix}
a expansão pela segunda coluna dá 0 porque os dois elementos da coluna são zero; logo o determinante é 0. Mesmo raciocínio vale para qualquer dimensão.

Resposta

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