Informações dadas (pegadas diretamente do enunciado):
A matriz é 3\times3.
As entradas são a_{11}=2, a_{12}=0, a_{13}=0; a_{21}=4, a_{22}=1, a_{23}=0; a_{31}=7, a_{32}=3, a_{33}=-2.
A tarefa é calcular \det(A).]
Passo 2
Observação útil: quando numa matriz todos os elementos acima da diagonal principal são zero (ou todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), chamamos a matriz de triangular (nesse caso é uma matriz triangular inferior, porque os zeros estão acima da diagonal). Há uma propriedade muito prática:
Propriedade: o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou explicar rapidamente por quê essa propriedade é verdadeira de maneira direta e simples, usando expansão por cofactores (ou Laplace) numa matriz triangular.
Passo 3
Explicação por expansão por cofatores (versão prática):
Ao fazer a expansão do determinante por uma linha ou coluna que contém muitos zeros, só restam os termos correspondentes aos elementos não nulos dessa linha/coluna.
Aqui a primeira linha de A é (2,0,0). Ao expandir por essa linha, só o primeiro elemento contribui, porque os outros são zero.
Aplicando a expansão por cofatores pela primeira linha: