Calcule os seguintes determinantes por inspeção:
\left|\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 4 & 1 & 0 \\\\ 7 & 3 & -2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 4 & 1 & 0 \\[4pt] 7 & 3 & -2\end{pmatrix}.
Informações dadas (pegadas diretamente do enunciado):
  • A matriz é 3\times3.
  • As entradas são a_{11}=2, a_{12}=0, a_{13}=0; a_{21}=4, a_{22}=1, a_{23}=0; a_{31}=7, a_{32}=3, a_{33}=-2.
    A tarefa é calcular \det(A).]

Passo 2

Observação útil: quando numa matriz todos os elementos acima da diagonal principal são zero (ou todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), chamamos a matriz de triangular (nesse caso é uma matriz triangular inferior, porque os zeros estão acima da diagonal). Há uma propriedade muito prática:
Propriedade: o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou explicar rapidamente por quê essa propriedade é verdadeira de maneira direta e simples, usando expansão por cofactores (ou Laplace) numa matriz triangular.

Passo 3

Explicação por expansão por cofatores (versão prática):
  • Ao fazer a expansão do determinante por uma linha ou coluna que contém muitos zeros, só restam os termos correspondentes aos elementos não nulos dessa linha/coluna.
  • Aqui a primeira linha de A é (2,0,0). Ao expandir por essa linha, só o primeiro elemento contribui, porque os outros são zero.
Aplicando a expansão por cofatores pela primeira linha:
\det(A)=a_{11}\,C_{11}+a_{12}\,C_{12}+a_{13}\,C_{13},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o cofator e M_{ij} o menor correspondente.
Como a_{12}=0 e a_{13}=0, temos
\det(A)=a_{11}\,C_{11}=2\cdot C_{11}.

Passo 4

Calcular C_{11}: o menor M_{11} é a matriz obtida apagando a linha 1 e a coluna 1, ou seja
M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}.
O cofator é C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=\det(M_{11}).
Calcule o determinante do menor:
\det(M_{11})=1\cdot(-2)-0\cdot 3=-2.
Portanto
\det(A)=2\cdot(-2)=-4.]

Passo 5

Comentário extra que ajuda na inspeção futura: como a matriz é triangular inferior, podia-se aplicar diretamente a propriedade e fazer
\det(A)=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}=2\cdot 1\cdot(-2)=-4,
chegando ao mesmo resultado de forma imediata.

Resposta

-4

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