Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 5 & 1 & 6\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 5 & 1 & 6 \end{pmatrix}.
Vou listar as entradas da matriz (peguei estes números do enunciado):
  • \,a_{11}=2,\; a_{12}=-1,\; a_{13}=2,
  • \,a_{21}=1,\; a_{22}=3,\; a_{23}=2,
  • \,a_{31}=5,\; a_{32}=1,\; a_{33}=6.
O objetivo é encontrar o valor de \det dessa matriz.

Passo 2

Método escolhido: regra de Sarrus (método direto para determinantes de matrizes 3\times3). Vou explicar a regra de Sarrus: para uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij}, o determinante é dado por somar os três produtos das diagonais que “descem para a direita” e subtrair os três produtos das diagonais que “descem para a esquerda”. Formalmente:
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j da matriz (por exemplo \,a_{23} é o elemento da segunda linha, terceira coluna).

Passo 3

Calcular os três produtos das diagonais “para a direita”:
a_{11}a_{22}a_{33} = 2\cdot 3\cdot 6 = 36,
a_{12}a_{23}a_{31} = (-1)\cdot 2\cdot 5 = -10,
a_{13}a_{21}a_{32} = 2\cdot 1\cdot 1 = 2.
Somando esses três termos:
36 + (-10) + 2 = 28.

Passo 4

Calcular os três produtos das diagonais “para a esquerda”:
a_{13}a_{22}a_{31} = 2\cdot 3\cdot 5 = 30,
a_{11}a_{23}a_{32} = 2\cdot 2\cdot 1 = 4,
a_{12}a_{21}a_{33} = (-1)\cdot 1\cdot 6 = -6.
Somando esses três termos:
30 + 4 + (-6) = 28.

Passo 5

Aplicando a fórmula da regra de Sarrus:
\det = \text{(soma das direitas)} - \text{(soma das esquerdas)} = 28 - 28 = 0.
Portanto o determinante é zero. Interpretação rápida: determinante zero significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes, isto é, alguma linha é combinação linear das outras.

Passo 6

Vou mostrar explicitamente a dependência linear entre as linhas (isso ajuda a fixar por que o determinante é zero). Denotando as linhas por \,R_1=(2,-1,2),\; R_2=(1,3,2),\; R_3=(5,1,6), procuro escalares \alpha,\beta tais que
\alpha R_1 + \beta R_2 = R_3.
Isso dá o sistema componente a componente:
2\alpha + 1\beta = 5,
-1\alpha + 3\beta = 1,
2\alpha + 2\beta = 6.
Da terceira equação vem \alpha+\beta=3, ou seja \beta=3-\alpha. Substituindo na primeira:
2\alpha + (3-\alpha)=5 \implies \alpha+3=5 \implies \alpha=2.
Então \beta=3-\alpha=1. Verificando na segunda equação:
-1\cdot 2 + 3\cdot 1 = -2+3=1,
que coincide. Logo
R_3 = 2R_1 + 1R_2.
Isso confirma a dependência linear e explica por que \det=0.

Resposta

0

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