Vou listar as entradas da matriz (peguei estes números do enunciado):
\,a_{11}=2,\; a_{12}=-1,\; a_{13}=2,
\,a_{21}=1,\; a_{22}=3,\; a_{23}=2,
\,a_{31}=5,\; a_{32}=1,\; a_{33}=6.
O objetivo é encontrar o valor de \det dessa matriz.
Passo 2
Método escolhido: regra de Sarrus (método direto para determinantes de matrizes 3\times3). Vou explicar a regra de Sarrus: para uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij}, o determinante é dado por somar os três produtos das diagonais que “descem para a direita” e subtrair os três produtos das diagonais que “descem para a esquerda”. Formalmente:
Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j da matriz (por exemplo \,a_{23} é o elemento da segunda linha, terceira coluna).
Passo 3
Calcular os três produtos das diagonais “para a direita”:
a_{11}a_{22}a_{33} = 2\cdot 3\cdot 6 = 36,
a_{12}a_{23}a_{31} = (-1)\cdot 2\cdot 5 = -10,
a_{13}a_{21}a_{32} = 2\cdot 1\cdot 1 = 2.
Somando esses três termos:
36 + (-10) + 2 = 28.
Passo 4
Calcular os três produtos das diagonais “para a esquerda”:
a_{13}a_{22}a_{31} = 2\cdot 3\cdot 5 = 30,
a_{11}a_{23}a_{32} = 2\cdot 2\cdot 1 = 4,
a_{12}a_{21}a_{33} = (-1)\cdot 1\cdot 6 = -6.
Somando esses três termos:
30 + 4 + (-6) = 28.
Passo 5
Aplicando a fórmula da regra de Sarrus:
\det = \text{(soma das direitas)} - \text{(soma das esquerdas)} = 28 - 28 = 0.
Portanto o determinante é zero. Interpretação rápida: determinante zero significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes, isto é, alguma linha é combinação linear das outras.
Passo 6
Vou mostrar explicitamente a dependência linear entre as linhas (isso ajuda a fixar por que o determinante é zero). Denotando as linhas por \,R_1=(2,-1,2),\; R_2=(1,3,2),\; R_3=(5,1,6), procuro escalares \alpha,\beta tais que
\alpha R_1 + \beta R_2 = R_3.
Isso dá o sistema componente a componente:
2\alpha + 1\beta = 5,
-1\alpha + 3\beta = 1,
2\alpha + 2\beta = 6.
Da terceira equação vem \alpha+\beta=3, ou seja \beta=3-\alpha. Substituindo na primeira: