Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{rrrr}2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 4\times4
A=\left|\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 & 3 \end{array}\right|.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • A matriz é 4\times4.
  • Os elementos da terceira coluna são 0,\,0,\,2,\,-2 (nas linhas 1,2,3,4, respectivamente).
    A tarefa é encontrar o valor numérico do determinante dessa matriz.

Passo 2

Estratégia e conceitos necessários (de forma didática e prática).
  • Regra de Laplace (expansão por cofatores) ao longo de uma coluna: para uma matriz n\times n,
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i j}C_{i j},
onde a_{i j} é o elemento na linha i, coluna j, e C_{i j} é o cofator correspondente.
  • Definição de cofator: C_{i j}=(-1)^{i+j}\det(M_{i j}), onde M_{i j} é a matriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j (chamada menor de ordem n-1).
  • Observação prática: é vantajoso expandir por uma coluna que tenha muitos zeros; neste caso a terceira coluna tem dois zeros (linhas 1 e 2), por isso vamos expandir por essa coluna para simplificar cálculos.

Passo 3

Aplicando a expansão por cofatores na coluna 3.
  • Os elementos da coluna 3 são a_{13}=0, a_{23}=0, a_{33}=2, a_{43}=-2.
  • Pela regra de Laplace:
\det(A)=a_{13}C_{13}+a_{23}C_{23}+a_{33}C_{33}+a_{43}C_{43}.
Substituindo os zeros:
\det(A)=2\,C_{33}+(-2)\,C_{43}.
Agora usamos C_{33}=(-1)^{3+3}\det(M_{33})=\det(M_{33}) e C_{43}=(-1)^{4+3}\det(M_{43})=-\det(M_{43}).
Assim
\det(A)=2\det(M_{33})+(-2)\bigl(-\det(M_{43})\bigr)=2\bigl(\det(M_{33})+\det(M_{43})\bigr).

Passo 4

Determinar as menores M_{33} e M_{43} (removendo a linha e coluna correspondentes).
  • M_{33} é a matriz 3\times3 obtida ao eliminar a linha 3 e a coluna 3 de A:
M_{33}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
  • M_{43} é a matriz 3\times3 obtida ao eliminar a linha 4 e a coluna 3 de A:
M_{43}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como calcular o determinante de uma 3\times3 de forma simples: expandir por uma linha/coluna com zeros.
  • Em M_{33} a segunda linha é (0,1,0), ou seja, tem dois zeros — ótimo para expandir por essa linha.
    Aplicando expansão pela segunda linha:
\det(M_{33})=1\cdot (-1)^{2+2}\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
O determinante 2\times2 é
\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot 3 - 1\cdot 1=6-1=5.
Logo
\det(M_{33})=5.]

Passo 6

Calcular \det(M_{43}) semelhante ao anterior: a segunda linha de M_{43} também é (0,1,0), então
\det(M_{43})=1\cdot (-1)^{2+2}\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Esse 2\times2
\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}=2\cdot 0 - 1\cdot 1=0-1=-1.
Portanto
\det(M_{43})=-1.]

Passo 7

Combinar os resultados na expressão obtida no Passo 3.
  • Lembrando que
\det(A)=2\bigl(\det(M_{33})+\det(M_{43})\bigr),
substituímos \det(M_{33})=5 e \det(M_{43})=-1:
\det(A)=2\bigl(5+(-1)\bigr)=2\cdot 4=8.

Resposta

8

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