Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & -2 & 1 \\\\ -3 & 2 & 3 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O que o problema pede: calcular o determinante da matriz 4\times4
\Delta=\left|\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & -2 & 1 \\\\ -3 & 2 & 3 & 1 \end{array}\right|.
Informações dadas (cada linha é uma linha da matriz):
  • Linha 1: (2,1,2,1).
  • Linha 2: (3,0,1,1).
  • Linha 3: (-1,2,-2,1).
  • Linha 4: (-3,2,3,1).
O enunciado só pede uma coisa: o valor numérico do determinante dessa matriz.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática leve): vou usar a expansão por cofatores ao longo da quarta coluna. Justificativa simples e prática: todos os elementos da quarta coluna são iguais a 1, então a expansão fica mais direta — reduzimos o problema a somar e subtrair determinantes 3\times3.
Regra de cofactores (expansão por coluna): para uma matriz 4\times4,
\det(A)=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+4}\,a_{i4}\,\det(M_{i4}),
onde a_{i4} é o elemento na linha i, coluna 4 e M_{i4} é a matriz 3\times3 obtida eliminando a linha i e a coluna 4. Aqui a_{i4}=1 para todo i, e como (-1)^{i+4}=(-1)^i (porque (-1)^4=1), obtemos a fórmula prática
\Delta=-\det(M_1)+\det(M_2)-\det(M_3)+\det(M_4).
Agora vamos calcular cada \det(M_i).

Passo 3

Definição/recap rápido de determinante de 3\times3: para
B=\begin{pmatrix}a&b&c\\\ d&e&f\\\ g&h&i\end{pmatrix},
temos
\det(B)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aqui cada letra representa o elemento correspondente da matriz 3\times3. Vou aplicar essa fórmula a cada menor M_i.

Passo 4

Cálculo de \det(M_1). O menor M_1 (eliminar linha 1 e coluna 4) é
M_1=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\\\ -1 & 2 & -2\\\\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula com a=3, b=0, c=1, d=-1, e=2, f=-2, g=-3, h=2, i=3:
\det(M_1)=3\big(2\cdot3-(-2)\cdot2\big)-0\big((-1)\cdot3-(-2)(-3)\big)+1\big((-1)\cdot2-2\cdot(-3)\big).
Calcule passo a passo:
3(6-(-4))=3\cdot10=30,
o termo com b=0 é 0,
1((-2)+6)=1\cdot4=4.
Somando: \det(M_1)=30+4=34.

Passo 5

Cálculo de \det(M_2). O menor M_2 (eliminar linha 2 e coluna 4) é
M_2=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ -1 & 2 & -2\\\\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Aqui a=2, b=1, c=2, d=-1, e=2, f=-2, g=-3, h=2, i=3. Então
\det(M_2)=2\big(2\cdot3-(-2)\cdot2\big)-1\big((-1)\cdot3-(-2)(-3)\big)+2\big((-1)\cdot2-2\cdot(-3)\big).
Calcule:
2(6-(-4))=2\cdot10=20,
-1(-3-6)=-1(-9)=9,
2(-2+6)=2\cdot4=8.
Somando: \det(M_2)=20+9+8=37.

Passo 6

Cálculo de \det(M_3). O menor M_3 (eliminar linha 3 e coluna 4) é
M_3=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 3 & 0 & 1\\\\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Com a=2, b=1, c=2, d=3, e=0, f=1, g=-3, h=2, i=3:
\det(M_3)=2\big(0\cdot3-1\cdot2\big)-1\big(3\cdot3-1\cdot(-3)\big)+2\big(3\cdot2-0\cdot(-3)\big).
Calcule:
2(0-2)=2(-2)=-4,
-1(9-(-3))=-1(12)=-12,
2(6-0)=12.
Somando: \det(M_3)=-4-12+12=-4.

Passo 7

Cálculo de \det(M_4). O menor M_4 (eliminar linha 4 e coluna 4) é
M_4=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 3 & 0 & 1\\\\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Com a=2, b=1, c=2, d=3, e=0, f=1, g=-1, h=2, i=-2:
\det(M_4)=2\big(0\cdot(-2)-1\cdot2\big)-1\big(3\cdot(-2)-1\cdot(-1)\big)+2\big(3\cdot2-0\cdot(-1)\big).
Calcule:
2(0-2)=2(-2)=-4,
-1(-6-(-1))=-1(-5)=5,
2(6)=12.
Somando: \det(M_4)=-4+5+12=13.

Passo 8

Combinar os cofatores conforme a regra do Passo 2:
\Delta=-\det(M_1)+\det(M_2)-\det(M_3)+\det(M_4).
Substituindo os valores encontrados:
\Delta=-34+37-(-4)+13.
Calcule passo a passo:
-34+37=3,\qquad 3-(-4)=7,\qquad 7+13=20.
Portanto o determinante da matriz é 20. Força aí — já é um bom resultado para levar pra prova!

Resposta

20

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