Calcule as seguintes integrais indefinidas por frações parciais:
\int \frac{-2}{x^{2}-16} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \frac{-2}{x^2 -16}\,dx. O conteúdo envolve decomposição em frações parciais de uma função racional simples.

Passo 2

Para decompor, escrevemos
\frac{-2}{x^2-16} \;=\;\frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}.
Multiplicando ambos os lados por (x-4)(x+4), obtemos
-2 \;=\; A(x+4) + B(x-4).
Escolhendo valores convenientes: para x=4, temos -2 = 8A logo A = -\tfrac14; para x=-4, temos -2 = -8B logo B = \tfrac14.

Passo 3

Substituindo os coeficientes, a integral vira
\int \Bigl(-\tfrac{1}{4}\frac{1}{x-4} + \tfrac{1}{4}\frac{1}{x+4}\Bigr)\,dx.
Integrando termo a termo,
-\tfrac{1}{4}\ln\bigl|x-4\bigr| + \tfrac{1}{4}\ln\bigl|x+4\bigr| + C.

Resposta

\frac{1}{4}\ln\!\Bigl|\frac{x+4}{x-4}\Bigr| + C

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