Calcule as seguintes integrais indefinidas por frações parciais:
\int \frac{1}{3 x^{2}-x} d x

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{3x^{2}-x}\,dx.
Isso é um caso típico de decomposição em frações parciais, pois temos uma função racional própria (grau do numerador menor que o grau do denominador).

Passo 2

Fatoramos o denominador:
3x^{2}-x = x\,(3x-1).
Logo, procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{x(3x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{3x-1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(3x-1), obtemos
1 = A(3x-1) + Bx = (3A + B)\,x - A.
Igualando coeficientes de x e do termo constante, temos o sistema
3A + B = 0, \quad -A = 1,
cuja solução é A = -1 e B = 3. Portanto
\frac{1}{3x^{2}-x} = -\frac{1}{x} + \frac{3}{3x-1}.

Passo 4

Integramos cada parcela separadamente:
\int \bigl(-\tfrac{1}{x}\bigr)\,dx = -\ln|x| + C_{1},
e para a segunda parte usamos u=3x-1, du=3\,dx:
\int \frac{3}{3x-1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C_{2} = \ln|3x-1| + C_{2}.
Somando e reunindo as constantes C_{1} e C_{2} em uma única C, obtemos
\int \frac{1}{3x^{2}-x}\,dx = -\ln|x| + \ln|3x-1| + C = \ln\!\biggl|\frac{3x-1}{x}\biggr| + C.

Resposta

\ln\!\biggl|\frac{3x-1}{x}\biggr| + C

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