Calcule as seguintes integrais indefinidas por frações parciais:
\int \frac{3}{x^{2}+x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3}{x^{2}+x-2}\,dx.
Isso é uma integral de função racional, então vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1).
Logo podemos escrever
\frac{3}{x^{2}+x-2} = \frac{3}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}.

Passo 3

Para encontrar A e B, multiplicamos ambos os lados por (x+2)(x-1):
3 = A(x-1) + B(x+2).
Agora escolhemos valores convenientes de x:
  • Se x=1, obtém-se 3 = A(0) + B\cdot3, logo B=1.
  • Se x=-2, obtém-se 3 = A\cdot(-3) + B\cdot0, logo A=-1.

Passo 4

Substituindo A e B na fração parcial, temos
\frac{3}{x^{2}+x-2} = -\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-1}.
Assim a integral fica
\int \frac{3}{x^{2}+x-2}\,dx = -\int \frac{1}{x+2}\,dx + \int \frac{1}{x-1}\,dx.

Passo 5

Cada termo é uma primitiva do tipo \int 1/(x+a)\,dx = \ln|x+a|. Portanto
-\int \frac{1}{x+2}\,dx = -\ln\bigl|x+2\bigr| \quad\text{e}\quad \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\bigl|x-1\bigr|.
Somando e acrescentando a constante C, obtemos
\int \frac{3}{x^{2}+x-2}\,dx = -\ln\bigl|x+2\bigr| + \ln\bigl|x-1\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{3}{x^{2}+x-2}\,dx = \ln\Bigl|\frac{x-1}{x+2}\Bigr| + C.

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