Calcule as seguintes integrais indefinidas por frações parciais:
\int \frac{x+2}{x^{2}-4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+2}{x^{2}-4x}\,dx
usando o método de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e expressar a função como soma de termos mais simples que possamos integrar diretamente.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^{2}-4x = x(x-4).
Então supomos a decomposição
\frac{x+2}{x(x-4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-4}.

Passo 3

Para determinar A\) e \(B\), escrevemos \[x+2 = A(x-4) + Bx = (A+B)\,x - 4A.
Comparando coeficientes de x e termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -4A = 2. \end{cases}
Da segunda equação vem A = -\tfrac12\]. Substituindo em \(A+B=1 resulta B = 1 + \tfrac12 = \tfrac32.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int \frac{x+2}{x(x-4)}\,dx = \int \Bigl(-\tfrac12\cdot\frac1{x} + \tfrac32\cdot\frac1{x-4}\Bigr)\,dx = -\tfrac12\int \frac{dx}{x} + \tfrac32\int \frac{dx}{x-4}.
Integrando cada termo:
-\tfrac12\int \frac{dx}{x} = -\tfrac12\ln\bigl|x\bigr|, \quad \tfrac32\int \frac{dx}{x-4} = \tfrac32\ln\bigl|x-4\bigr|.

Resposta

\int \frac{x+2}{x^{2}-4x}\,dx = -\tfrac12\ln\bigl|x\bigr| + \tfrac32\ln\bigl|x-4\bigr| + C.

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