Calcule as seguintes integrais indefinidas por frações parciais: \int \frac{x+2}{x^{2}-4 x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+2}{x^{2}-4x}\,dx
usando o método de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e expressar a função como soma de termos mais simples que possamos integrar diretamente.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador:
x^{2}-4x = x(x-4).
Então supomos a decomposição
\frac{x+2}{x(x-4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-4}.
Passo 3
Para determinar A\) e \(B\), escrevemos
\[x+2 = A(x-4) + Bx = (A+B)\,x - 4A.
Comparando coeficientes de x e termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -4A = 2. \end{cases}
Da segunda equação vem A = -\tfrac12\]. Substituindo em \(A+B=1 resulta B = 1 + \tfrac12 = \tfrac32.