Calcule as seguintes integrais indefinidas por frações parciais:
\int \frac{4 x^{2}-1}{2 x\left(x^{2}+2 x+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{4x^{2}-1}{2x\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)}\,dx
que é uma integral de razão de polinômios. O conteúdo que vamos usar é a decomposição em frações parciais, lembrando que x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e escrevemos a forma de frações parciais:
\frac{4x^{2}-1}{2x(x+1)^{2}} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por 2x(x+1)^{2}, obtemos
4x^{2}-1 =2A\,(x+1)^{2}+2B\,x(x+1)+2C\,x.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos:
2A(x^{2}+2x+1)+2B(x^{2}+x)+2C\,x =(2A+2B)x^{2}+(4A+2B+2C)x+2A.
Comparando coeficientes com 4x^{2}-1 (isto é, 4x^{2}+0\,x-1), vem o sistema
2A+2B=4,\quad 4A+2B+2C=0,\quad 2A=-1.
Da última equação segue A=-\tfrac12. Substituindo em 2A+2B=4 B=5/2. E então 4A+2B+2C=0 leva a C=-3/2.

Passo 4

Logo a integral torna-se
\int\Bigl(-\tfrac12\frac1x+\tfrac52\frac1{x+1}-\tfrac32\frac1{(x+1)^{2}}\Bigr)dx.
Integramos termo a termo, sabendo que \displaystyle\int\frac{dx}{x}=\ln|x| e \displaystyle\int(x+1)^{-2}dx=-(x+1)^{-1}:
-\tfrac12\ln|x| +\tfrac52\ln|x+1| +\frac32\frac1{x+1} + C.

Resposta

-\tfrac12\ln|x|+\tfrac52\ln|x+1|+\frac{3}{2(x+1)}+C.

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