Calcule os seguintes limites pela definição (isto é, usando \epsilon e \delta ).
\lim _{x \rightarrow 1} x^{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do seguinte limite usando a definição (com \epsilon e \delta):
\lim_{x\to 1} x^{3}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função considerada é f(x)=x^{3}.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
  • Deve-se provar, pela definição \epsilon- \delta, que existe um número L tal que f(x) se aproxima de L quando x se aproxima de 1, e encontrar esse L.
  • Em termos práticos: mostrar que para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-1|<\delta, então |x^{3}-L|<\epsilon.

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (explicando as variáveis):
  • A afirmação \lim_{x\to 1} x^{3}=L significa: para todo \epsilon>0 (quantidade pequena que eu escolho para dizer “quero que x^{3} fique dentro de \epsilon de L”), existe \delta>0 (escolhido em função de \epsilon) tal que sempre que |x-1|<\delta então |x^{3}-L|<\epsilon.
  • Nosso objetivo é identificar L e dar uma construção explícita de \delta em função de \epsilon.
Nós já suspeitamos que L=1 (porque 1^{3}=1); agora vamos provar formalmente que \lim_{x\to 1} x^{3}=1 encontrando \delta(\epsilon).

Passo 3

Começamos manipulando a diferença |x^{3}-1| para ver como controlá-la por |x-1|. Usamos fatoração:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Portanto
|x^{3}-1|=|x-1|\;|x^{2}+x+1|.
A ideia é achar uma constante M tal que |x^{2}+x+1|\le M quando x está suficientemente próximo de 1. Então poderemos garantir |x^{3}-1| \le M |x-1| e escolher \delta para controlar isso.

Passo 4

Escolha de uma restrição simples para controlar |x^{2}+x+1|:
Tomemos \delta\le 1. Assim, sempre que |x-1|<\delta\le 1 temos
|x-1|<1 \quad\Rightarrow\quad |x| \le |x-1|+|1| < 1+1 = 2,
ou seja |x|<2. Agora usamos que, para qualquer número real x,
|x^{2}+x+1| \le |x|^{2} + |x| + 1.
Com |x|<2 segue
|x^{2}+x+1| < 2^{2} + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7.
Portanto, sob a condição |x-1|<1, obtemos a desigualdade útil
|x^{2}+x+1| < 7.

Passo 5

Combinação das desigualdades e escolha de \delta:
Usando o resultado anterior,
|x^{3}-1| = |x-1|\;|x^{2}+x+1| < 7\,|x-1|
sempre que |x-1|<1.
Agora, dado um \epsilon>0 arbitrário, se quisermos garantir |x^{3}-1|<\epsilon é suficiente garantir
7\,|x-1| < \epsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1| < \frac{\epsilon}{7}.
Por isso escolhemos
\delta = \min\!\left(1,\; \frac{\epsilon}{7}\right).
Verificação completa: seja \epsilon>0 dado e tome \delta como acima. Se |x-1|<\delta então, por construção, |x-1|<1 (logo |x^{2}+x+1|<7) e também |x-1|<\epsilon/7. Assim
|x^{3}-1| = |x-1|\;|x^{2}+x+1| < 7\,|x-1| < 7\cdot\frac{\epsilon}{7} = \epsilon.
Isso prova exatamente a definição: para todo \epsilon>0 existe \delta>0 (a função acima) tal que |x-1|<\delta implica |x^{3}-1|<\epsilon.

Passo 6

Comentário final e exemplo numérico curto (para intuir): escolha \epsilon=0{,}01. Então \delta=\min(1,\tfrac{0{,}01}{7})=\tfrac{0{,}01}{7}\approx 0{,}0014286. Assim, se |x-1|<0{,}0014286 então |x^{3}-1|<0{,}01. Esse cálculo mostra como \delta controla a proximidade da função ao limite.

Resposta

1

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