Calcule os seguintes limites pela definição (isto é, usando
e
).
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor do seguinte limite usando a definição (com
e
):
Informações dadas e o que é pedido:
- A função considerada é
. - O ponto de aproximação é
. - Deve-se provar, pela definição
- , que existe um número tal que se aproxima de quando se aproxima de , e encontrar esse . - Em termos práticos: mostrar que para todo
existe tal que, sempre que , então .
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar (explicando as variáveis):
- A afirmação
significa: para todo (quantidade pequena que eu escolho para dizer “quero que fique dentro de de ”), existe (escolhido em função de ) tal que sempre que então . - Nosso objetivo é identificar
e dar uma construção explícita de em função de .
Nós já suspeitamos que
(porque
); agora vamos provar formalmente que
encontrando
.
Passo 3
Começamos manipulando a diferença
para ver como controlá-la por
. Usamos fatoração:
Portanto
A ideia é achar uma constante
tal que
quando
está suficientemente próximo de
. Então poderemos garantir
e escolher
para controlar isso.
Passo 4
Escolha de uma restrição simples para controlar
:
Tomemos
. Assim, sempre que
temos
ou seja
. Agora usamos que, para qualquer número real
,
Com
segue
Portanto, sob a condição
, obtemos a desigualdade útil
Passo 5
Combinação das desigualdades e escolha de
:
Usando o resultado anterior,
sempre que
.
Agora, dado um
arbitrário, se quisermos garantir
é suficiente garantir
Por isso escolhemos
Verificação completa: seja
dado e tome
como acima. Se
então, por construção,
(logo
) e também
. Assim
Isso prova exatamente a definição: para todo
existe
(a função acima) tal que
implica
.
Passo 6
Comentário final e exemplo numérico curto (para intuir): escolha
. Então
. Assim, se
então
. Esse cálculo mostra como
controla a proximidade da função ao limite.