Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
As informações dadas são:
- A expressão dentro do limite é a função constante
. - O ponto onde
se aproxima é .
A pergunta a ser respondida é: qual é o valor do limite quandotende para ?
Passo 2
Para entender o que significa o limite, precisamos saber qual valor a função
se aproxima quando
se aproxima de
. Como a função é
para todo
, o valor que ela assume não depende de
.
Passo 3
Podemos calcular o limite de duas formas equivalentes e simples:
- Usando um argumento intuitivo (continuidade/constância): uma função constante é contínua e o limite em qualquer ponto é o próprio valor constante.
- Através de uma demonstração rigorosa via definição
- do limite.
Vamos apresentar as duas abordagens: primeiro a ideia direta e depois a prova formal curta, para que você possa escolher a que preferir.
Passo 4
Explicação curta e direta (intuitiva):
A função dada é para todo
. Isso significa que, independentemente de como
se aproxima de
, os valores de
permanecem sempre iguais a
. Logo, o limite quando
deve ser
.
A função dada é
Passo 5
Prova rigorosa usando a definição
-
:
Relembrando a definição: dizer que
Relembrando a definição: dizer que
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, então
.
Aqui
. Proponho
e verifico:
Esse resultado não depende de
. Para qualquer
temos
, e portanto
é sempre verdadeiro, independentemente de qual
eu escolha. Assim existe (por exemplo qualquer)
que satisfaz a condição da definição, e a igualdade do limite é demonstrada rigorosamente.
Passo 6
Interpretação geométrica:
O gráfico de é uma reta horizontal na altura
. Quando
se aproxima de
, você simplesmente se move ao longo dessa reta; o valor da função permanece
. Portanto, o limite é
.
O gráfico de