Calcule a soma
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular a soma infinita
.
Informações dadas:
- Somatório sobre
. - O termo geral é
, que é alternado pelo fator . - Não há outras informações explícitas; portanto a resolução deverá usar identidades conhecidas de séries infinita e manipulações algébricas.
Passo 2
Escolha do método (resumida): vamos transformar a expressão para a forma
com algum
, porque existem identidades clássicas para somas do tipo
e podemos obter a soma com quadrado no denominador derivando essa identidade em relação a
. Esse método usa cálculo elementar (derivação) e fórmulas de séries para funções trigonométricas, sem precisar de teoria pesada.
Observação útil de reescrita:
Logo
com
, isto é
. Assim basta calcular
em
e dividir por
.
Passo 3
Identidade básica (motivação e enunciado):
- Para
vale a identidade clássica (obtida via expansão em frações simples da função ):
Explicação curta do porquê: a função
tem a expansão em pólos simples com residuais
, e somando termos adequadamente e isolando a soma sobre
dá a igualdade acima. Não é necessário reproduzir toda a derivação técnica aqui, mas esta identidade é padrão e serve como ponto de partida.
Definimos, para usar mais conforto de notação,
Pela identidade acima:
Passo 4
Passo chave: obter a soma com quadrado no denominador por diferenciação.
Observação: para
fixo,
Logo, derivando termo a termo (justificado para
que não coincida com inteiros),
Isolando a soma desejada,
Portanto o plano é: calcular
a partir da expressão explícita de
e substituir
.
Passo 5
Calcular
explicitamente a partir de
Derivadas parciais passo a passo:
- Derivada da primeira parcela:
- Derivada da segunda parcela. Escrevendo
, aplica-se a regra do produto:
Como
segue
Simplificando:
Somando com a derivada da primeira parcela:
Passo 6
Agora usamos a relação obtida no Passo 4:
Substituindo
:
Simplificando os potes de
:
Agora colocamos
. Calculemos as potências:
Substituindo:
pois
e ajustando dá
(verificação algebrica:
; multiplicando por
resulta
). Atenção: calcular diretamente dá o mesmo resultado usado abaixo.
Assim obtemos
(Para manter clareza: a forma simplificada a seguir já resume corretamente os coeficientes.)
Recordando que a soma pedida originalmente é
dessa soma (veja Passo 2), temos finalmente
Substituindo o resultado e simplificando os coeficientes:
Passo 7
Pequena verificação numérica (opcional, para confiança):
- As funções
e em não têm valores elementares simples, portanto a forma exata acima é a melhor forma fechada. - Se for interessante obter uma aproximação numérica, pode-se avaliar numericamente os termos trigonométricos e verificar consistência com soma parcial direta da série (isto pode ser feito na calculadora/Mathematica, etc). Aqui mantemos a expressão exata fechada.