- Calcule valor aproximado da integral
utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos (
).
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o valor da integral
usando a regra de trapézios repetida (regra composta) com dois subintervalos. Informações dadas:
intervalo de integração:
número de subintervalos:
passo (largura de cada subintervalo):
A pergunta é: qual é o valor aproximado da integral usando essa regra?
A pergunta é: qual é o valor aproximado da integral usando essa regra?
Passo 2
Explicação didática da regra do trapézio (uma passada curta e prática).
Se temos uma função e queremos aproximar a integral em um pequeno intervalo entre
e
, podemos aproximar a área sob
por um trapézio com bases de alturas
e
e largura
. A área desse trapézio é
Se temos uma função
Para vários subintervalos iguais (regra composta, ou repetida), se dividimos
em
subintervalos de largura
, com nós
, a fórmula composta é
Aqui:
é a largura de cada subintervalo,
são os valores da função nos nós. Essa fórmula vem de somar as áreas dos
trapézios; os nós internos aparecem com peso 2 porque cada um pertence a dois trapézios.
Passo 3
Identificando para o nosso problema:
,
,
,
.
Os nós são . A função é
. Vamos calcular
em cada nó:
Os nós são
Passo 4
Aplicando a fórmula composta com
:
Substituindo
e os valores de
:
Calcule passo a passo:
. Então o parêntese fica
Converter para decimal (ou fração):
. Agora multiplicar por
:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida: a aproximação pelo trapézio composto com
deu
. Para termos uma ideia do erro (só para motivar), a integral exata é
, então o erro da aproximação é pequeno (cerca de
). Mas na prova não era necessário calcular o valor exato, apenas seguir a regra composta como fizemos.