1. Calcule valor aproximado da integral \int_{0}^{2} \frac{d x}{1+x^{2}} utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos ( h=1 ).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor da integral \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{dx}{1+x^{2}} usando a regra de trapézios repetida (regra composta) com dois subintervalos. Informações dadas:
\displaystyle intervalo de integração: [0,2]
\displaystyle número de subintervalos: n=2
\displaystyle passo (largura de cada subintervalo): h=1
A pergunta é: qual é o valor aproximado da integral usando essa regra?

Passo 2

Explicação didática da regra do trapézio (uma passada curta e prática).
Se temos uma função f(x) e queremos aproximar a integral em um pequeno intervalo entre x_0 e x_1, podemos aproximar a área sob f por um trapézio com bases de alturas f(x_0) e f(x_1) e largura h=x_1-x_0. A área desse trapézio é
\frac{h}{2}\big(f(x_0)+f(x_1)\big).
Para vários subintervalos iguais (regra composta, ou repetida), se dividimos [a,b] em n subintervalos de largura h, com nós x_0=a,x_1,\dots,x_n=b, a fórmula composta é
\text{Aprox}=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Big).
Aqui: h é a largura de cada subintervalo, f(x_i) são os valores da função nos nós. Essa fórmula vem de somar as áreas dos n trapézios; os nós internos aparecem com peso 2 porque cada um pertence a dois trapézios.

Passo 3

Identificando para o nosso problema:
\displaystyle a=0, \displaystyle b=2, \displaystyle n=2, \displaystyle h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{2}=1.
Os nós são \displaystyle x_0=0,\;x_1=1,\;x_2=2. A função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}. Vamos calcular f em cada nó:
f(x_0)=f(0)=\frac{1}{1+0^{2}}=\frac{1}{1}=1,
f(x_1)=f(1)=\frac{1}{1+1^{2}}=\frac{1}{2}=0,5,
f(x_2)=f(2)=\frac{1}{1+2^{2}}=\frac{1}{5}=0,2.

Passo 4

Aplicando a fórmula composta com n=2:
\text{Aprox}=\frac{h}{2}\big(f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\big).
Substituindo h=1 e os valores de f:
\text{Aprox}=\frac{1}{2}\Big(1 + 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\Big).
Calcule passo a passo: 2\cdot\frac{1}{2}=1. Então o parêntese fica
1 + 1 + \frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}.
Converter para decimal (ou fração): 2+\frac{1}{5}=\frac{11}{5}=2,2. Agora multiplicar por \frac{1}{2}:
\text{Aprox}=\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{5}=\frac{11}{10}=1,1.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: a aproximação pelo trapézio composto com n=2 deu \,1,1. Para termos uma ideia do erro (só para motivar), a integral exata é \displaystyle \int_{0}^{2}\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan(2)-\arctan(0)=\arctan(2)\approx 1,1071487\ldots, então o erro da aproximação é pequeno (cerca de 0,00715). Mas na prova não era necessário calcular o valor exato, apenas seguir a regra composta como fizemos.

Resposta

1,1

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