- Calcule valor aproximado da integral
utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos (
).
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a regra de trapézios repetida (composta) com dois subintervalos, isto é, com passo
. Informações dadas: o integrando é
, o intervalo de integração é
, o número de subintervalos é
e portanto os nós serão
.
Passo 2
Apresento a fórmula da regra de trapézios composta e explico o que cada coisa significa. Para
subintervalos de largura
em
com nós
(
), a aproximação pelo trapézio composto é
Aqui:
-
é a largura de cada subintervalo (passo); -
é o número de subintervalos; -
são os pontos onde avaliamos a função; -
são os valores da função nesses pontos.
Essa fórmula vem de aproximar a área sobem cada subintervalo por um trapézio e somar as áreas.
Passo 3
Calculo os nós para
,
,
e
.
Os nós são:
Os nós são:
Passo 4
Avalio a função
em cada nó. Mostro as contas:
Passo 5
Substituo na fórmula do trapézio composto com
e
. Usando a forma equivalente
temos
Faço as operações passo a passo:
então
Multiplicando por
,
Passo 6
Dou a aproximação em decimal e comento o resultado. Temos
Esta é a aproximação da integral pelo método pedido.
Passo 7
Para você ter um senso do erro (opcional, mas útil na prova): a integral exata pode ser calculada facilmente por primitiva,
portanto
O erro da aproximação é
. Uma cota teórica para o erro do trapézio composto é
Aqui
, que no intervalo
atinge o máximo absoluto em
, com
. Assim a cota é
que é conservadora (maior que o erro real).