1. Calcule valor aproximado da integral \int_{-1}^{1} \frac{d x}{2+x} utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos ( h=1 ).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{2+x}
usando a regra de trapézios repetida (composta) com dois subintervalos, isto é, com passo h=1. Informações dadas: o integrando é f(x)=\dfrac{1}{2+x}, o intervalo de integração é [-1,1], o número de subintervalos é n=2 e portanto os nós serão x_0,x_1,x_2.

Passo 2

Apresento a fórmula da regra de trapézios composta e explico o que cada coisa significa. Para n subintervalos de largura h em [a,b] com nós x_k=a+kh ( k=0,\dots,n), a aproximação pelo trapézio composto é
T_n=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(x_n)\Big).
Aqui:
  • h é a largura de cada subintervalo (passo);
  • n é o número de subintervalos;
  • x_k são os pontos onde avaliamos a função;
  • f(x_k) são os valores da função nesses pontos.
    Essa fórmula vem de aproximar a área sob f em cada subintervalo por um trapézio e somar as áreas.

Passo 3

Calculo os nós para a=-1, b=1, n=2 e h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{1-(-1)}{2}=1.
Os nós são:
x_0=-1,\qquad x_1=0,\qquad x_2=1.

Passo 4

Avalio a função f(x)=\dfrac{1}{2+x} em cada nó. Mostro as contas:
f(x_0)=f(-1)=\frac{1}{2+(-1)}=\frac{1}{1}=1,
f(x_1)=f(0)=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2},
f(x_2)=f(1)=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Substituo na fórmula do trapézio composto com h=1 e n=2. Usando a forma equivalente
T_2=\frac{h}{2}\big(f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\big),
temos
T_2=\frac{1}{2}\Big(1+2\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\Big).
Faço as operações passo a passo:
2\cdot\frac{1}{2}=1,
então
1+1+\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Multiplicando por \dfrac{1}{2},
T_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{3}=\frac{7}{6}.

Passo 6

Dou a aproximação em decimal e comento o resultado. Temos
T_2=\frac{7}{6}\approx 1{,}166666\ldots
Esta é a aproximação da integral pelo método pedido.

Passo 7

Para você ter um senso do erro (opcional, mas útil na prova): a integral exata pode ser calculada facilmente por primitiva,
\int\frac{dx}{2+x}=\ln|2+x| + C,
portanto
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{2+x}=\ln(3)-\ln(1)=\ln 3\approx 1{,}0986123.
O erro da aproximação é T_2-\ln 3\approx 1{,}1666667-1{,}0986123\approx 0{,}0680544. Uma cota teórica para o erro do trapézio composto é
|E|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\max_{[a,b]}|f''(x)|.
Aqui f''(x)=2(2+x)^{-3}, que no intervalo [-1,1] atinge o máximo absoluto em x=-1, com \max|f''|=2. Assim a cota é
|E|\le \frac{(1-(-1))\cdot 1^2}{12}\cdot 2=\frac{2}{12}\cdot 2=\frac{1}{3}\approx 0{,}3333,
que é conservadora (maior que o erro real).

Resposta

\dfrac{7}{6}

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