Calcule o valor da seguinte integral dupla
\int_{0}^{8} \int_{\frac{1}{2} y^{1 / 3}}^{1} \sqrt{1-x^{4}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{8} \int_{\frac{1}{2} y^{1 / 3}}^{1} \sqrt{1-x^{4}}\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • O integrando é \sqrt{1-x^{4}}.
  • A variável y varia de 0 até 8.
  • Para cada y, a variável x varia de x=\dfrac{1}{2}y^{1/3} até x=1.
  • Devemos obter o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Entender geometricamente a região de integração ajuda muito para simplificar. A condição x\ge \dfrac{1}{2}y^{1/3} pode ser reescrita isolando y. Da equação
x=\dfrac{1}{2}y^{1/3}
temos, elevando ambos os lados ao cubo,
y=(2x)^{3}=8x^{3}.
Portanto a fronteira entre x e y é a curva y=8x^{3}. Como y vai de 0 até 8 e para cada y o x vai até 1, o conjunto de integração R é
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 8,\\ \tfrac{1}{2}y^{1/3}\le x\le 1\}.
Ao desenhar mentalmente, nota-se que projetando R no eixo x obtemos 0\le x\le1, porque quando y=0 o menor x é 0 e quando y=8 o menor x é 1. Para um x fixo em [0,1], o y correspondente varia de 0 até 8x^{3}. Logo podemos trocar a ordem de integração (a função é contínua e a região é simples) e escrever a integral como integração primeiro em y e depois em x.

Passo 3

Trocar a ordem de integração conforme a descrição do passo anterior:
\int_{0}^{8} \int_{\frac{1}{2} y^{1 / 3}}^{1} \sqrt{1-x^{4}}\, dx\, dy = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{8x^{3}} \sqrt{1-x^{4}}\, dy\, dx.
Aqui fiquei feliz porque o integrando \sqrt{1-x^{4}} não depende de y, então a integral interna em y é simples: ela apenas multiplica o integrando pelo comprimento do intervalo em y, que é 8x^{3}-0=8x^{3}.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{8x^{3}} \sqrt{1-x^{4}}\, dy = \sqrt{1-x^{4}}\cdot (8x^{3}).
Logo toda a integral fica
\int_{0}^{1} 8x^{3}\sqrt{1-x^{4}}\, dx.

Passo 5

Agora vamos calcular a integral
\int_{0}^{1} 8x^{3}\sqrt{1-x^{4}}\, dx.
Aqui cabe uma substituição direta e muito conveniente: note que a derivada de x^{4} é 4x^{3}, que aparece (até constante) multiplicando a raiz. Definimos
u=1-x^{4}.
Então
du = -4x^{3}\, dx \quad\Rightarrow\quad x^{3}\, dx = -\dfrac{1}{4}\,du.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} 8x^{3}\sqrt{1-x^{4}}\, dx =8\int_{x=0}^{1} x^{3} (1-x^{4})^{1/2}\, dx.
Usando x^{3}\,dx=-\dfrac{1}{4}du e (1-x^{4})^{1/2}=u^{1/2}, obtemos
8\int_{x=0}^{1} x^{3} (1-x^{4})^{1/2}\, dx =8\int_{u=1}^{0} \left(-\dfrac{1}{4}\right) u^{1/2}\, du.
O fator 8\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right) é -2, e inverter os limites (de 1 para 0 virou de 0 para 1) elimina o sinal negativo:
8\int_{u=1}^{0} \left(-\dfrac{1}{4}\right) u^{1/2}\, du =2\int_{0}^{1} u^{1/2}\, du.

Passo 6

Calcular a integral em u. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
2\int_{0}^{1} u^{1/2}\, du =2\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{1} =2\cdot\dfrac{2}{3}\bigl(1^{3/2}-0\bigr)=\dfrac{4}{3}.
Tudo está bem definido: a raiz \sqrt{1-x^{4}} é real e contínua em x\in[0,1], a troca de ordem foi legítima e as integrais foram executadas corretamente.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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