Calcule o valor da seguinte integral dupla
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O integrando é
. - A variável
varia de até . - Para cada
, a variável varia de até . - Devemos obter o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Entender geometricamente a região de integração ajuda muito para simplificar. A condição
pode ser reescrita isolando
. Da equação
temos, elevando ambos os lados ao cubo,
Portanto a fronteira entre
e
é a curva
. Como
vai de
até
e para cada
o
vai até
, o conjunto de integração
é
Ao desenhar mentalmente, nota-se que projetando
no eixo
obtemos
, porque quando
o menor
é
e quando
o menor
é
. Para um
fixo em
, o
correspondente varia de
até
. Logo podemos trocar a ordem de integração (a função é contínua e a região é simples) e escrever a integral como integração primeiro em
e depois em
.
Passo 3
Trocar a ordem de integração conforme a descrição do passo anterior:
Aqui fiquei feliz porque o integrando
não depende de
, então a integral interna em
é simples: ela apenas multiplica o integrando pelo comprimento do intervalo em
, que é
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Logo toda a integral fica
Passo 5
Agora vamos calcular a integral
Aqui cabe uma substituição direta e muito conveniente: note que a derivada de
é
, que aparece (até constante) multiplicando a raiz. Definimos
Então
Substituindo na integral:
Usando
e
, obtemos
O fator
é
, e inverter os limites (de
para
virou de
para
) elimina o sinal negativo:
Passo 6
Calcular a integral em
. A primitiva de
é
. Portanto
Tudo está bem definido: a raiz
é real e contínua em
, a troca de ordem foi legítima e as integrais foram executadas corretamente.