Em seguida, determine o volume do tetraedro com as mesmas arestas.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede dois volumes. Dados (peguei os vetores do enunciado):
\mathbf{a}=(2,0,1)
\mathbf{b}=(-1,3,0)
\mathbf{c}=(1,1,4)
O que se pede:
Calcular o volume do paralelepípedo determinado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
Calcular o volume do tetraedro que tem como arestas os mesmos vetores (i.e., o tetraedro formado pelos mesmos três vetores a partir de uma mesma vértice).
Passo 2
Fórmula e interpretação (aula rápida e prática).
O volume do paralelepípedo determinado por três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois). Em fórmula:
Aqui \mathbf{b}\times\mathbf{c} é o produto vetorial (um vetor perpendicular aos dois), e \mathbf{a}\cdot(\cdot) é o produto escalar. Outra forma equivalente e muito usada é ver esse produto misto como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores:
onde se escreveu \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3).
O volume do tetraedro determinado por esses três vetores a partir da mesma origem (ou seja, o tetraedro com vértices na origem e nos pontos \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) é uma fração fixa do volume do paralelepípedo. A fórmula geral para o volume de um simplex em dimensão n gerado por n vetores é \dfrac{|\det|}{n!}. Em 3D, isso dá:
Intuição rápida: o paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes formados por essas arestas a partir de vértices apropriados, por isso o fator 1/6.]
Passo 3
Aplicando ao caso dado: escrevemos o determinante com as coordenadas fornecidas (peguei as coordenadas da Passo 1):
Como esse elemento está na posição (1,3), o sinal no desenvolvimento é +\, (porque a regra de sinais é +,-,+ na primeira linha), então a contribuição é 1\cdot(-4) = -4.