Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores:
\mathbf{a}=(2,0,1), \quad \mathbf{b}=(-1,3,0), \quad \mathbf{c}=(1,1,4) .
Em seguida, determine o volume do tetraedro com as mesmas arestas.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede dois volumes. Dados (peguei os vetores do enunciado):
  • \mathbf{a}=(2,0,1)
  • \mathbf{b}=(-1,3,0)
  • \mathbf{c}=(1,1,4)
O que se pede:
  • Calcular o volume do paralelepípedo determinado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
  • Calcular o volume do tetraedro que tem como arestas os mesmos vetores (i.e., o tetraedro formado pelos mesmos três vetores a partir de uma mesma vértice).

Passo 2

Fórmula e interpretação (aula rápida e prática).
  • O volume do paralelepípedo determinado por três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois). Em fórmula:
V_{\text{paral}} = \left|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\right|.
Aqui \mathbf{b}\times\mathbf{c} é o produto vetorial (um vetor perpendicular aos dois), e \mathbf{a}\cdot(\cdot) é o produto escalar. Outra forma equivalente e muito usada é ver esse produto misto como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3\\[4pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix},
onde se escreveu \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3).
  • O volume do tetraedro determinado por esses três vetores a partir da mesma origem (ou seja, o tetraedro com vértices na origem e nos pontos \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) é uma fração fixa do volume do paralelepípedo. A fórmula geral para o volume de um simplex em dimensão n gerado por n vetores é \dfrac{|\det|}{n!}. Em 3D, isso dá:
V_{\text{tetra}} = \frac{1}{3!}\left|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\right| = \frac{1}{6}\left|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\right|.
Intuição rápida: o paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes formados por essas arestas a partir de vértices apropriados, por isso o fator 1/6.]

Passo 3

Aplicando ao caso dado: escrevemos o determinante com as coordenadas fornecidas (peguei as coordenadas da Passo 1):
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 4 \end{vmatrix}.
Vou calcular esse determinante expandindo pela primeira linha (método de Laplace, mostrar cada menor para você conseguir fazer na prova):
  • Para o elemento 2 (posição (1,1)), o menor é o determinante da matriz obtida apagando linha 1 e coluna 1:
\begin{vmatrix}3 & 0\\[4pt]1 & 4\end{vmatrix} = 3\cdot 4 - 0\cdot 1 = 12.
Contribuição: 2\cdot 12 = 24.
  • Para o elemento 0 (posição (1,2)), não precisa calcular o menor porque multiplicando por zero dá zero. Contribuição: 0.
  • Para o elemento 1 (posição (1,3)), o menor é o determinante da matriz obtida apagando linha 1 e coluna 3:
\begin{vmatrix}-1 & 3\\[4pt]1 & 1\end{vmatrix} = (-1)\cdot 1 - 3\cdot 1 = -1 - 3 = -4.
Como esse elemento está na posição (1,3), o sinal no desenvolvimento é +\, (porque a regra de sinais é +,-,+ na primeira linha), então a contribuição é 1\cdot(-4) = -4.
Agora somamos as contribuições:
\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 24 + 0 + (-4) = 20.]

Passo 4

Tomando valor absoluto para o volume do paralelepípedo:
V_{\text{paral}} = \left|20\right| = 20.
(Se o determinante tivesse sido negativo, o módulo garantiria volume positivo. Aqui foi positivo.)

Passo 5

Volume do tetraedro: aplicar a relação \dfrac{1}{6} do passo 2:
V_{\text{tetra}} = \frac{1}{6}V_{\text{paral}} = \frac{1}{6}\cdot 20 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}.

Resposta

Volume do paralelepípedo: \;20
Volume do tetraedro: \;\dfrac{10}{3}

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