O cálculo aproximado da área da superfície externa de uma pessoa pode ser necessário para a determinação da dosagem de algumas medicações. A área A ( \mathrm{em} \mathrm{cm}^{2} ) da superfície externa de uma criança pode ser estimada por meio do seu “peso” \mathrm{P}(\mathrm{em} \mathrm{kg}) e da sua altura \mathrm{H}(\mathrm{em} \mathrm{cm}) com a seguinte fórmula, que envolve logaritmos na base 10:
\log A=0,425 \log P+0,725 \log H+1,84
(Delafield Du Bois e Eugene Du Bois. A formula to estimate the approximate surface area if height and weight be known, 1916. Adaptado.)
Rafael, uma criança com 1 m de altura e 16 kg de “peso”, precisa tomar uma medicação cuja dose adequada é de 1 mg para cada 100 \mathrm{~cm}^{2} de área externa corporal. Determine a dose adequada dessa medicação para Rafael. Adote nos seus cálculos \log 2 \cong 0,30 e a tabela a seguir.
x 10^{x}
3,3 1995
3,4 2512
3,5 3162
3,6 3981
3,7 5012
3,8 6310
3,9 7943

Passo 1

O enunciado dá a fórmula que relaciona a área externa A (em \mathrm{cm}^2) com o peso P (em \mathrm{kg}) e a altura H (em \mathrm{cm}):
\log A = 0,425 \log P + 0,725 \log H + 1,84
Dados fornecidos:
  • P = 16 kg.
  • A altura é 1\\ \mathrm{m} = 100\\ \mathrm{cm}, logo H = 100 cm.
  • A dosagem necessária é de 1 mg a cada 100\\ \mathrm{cm}^2 de área.
  • Aproximação dada: \log 2 \cong 0,30.
  • Tabela com valores de 10^{x} para vários x (vou usar o valor de 10^{3,8} da tabela).
    Pergunta a responder: determinar a dose adequada (em mg) para Rafael.

Passo 2

Explicando como usar a fórmula e propriedades de logaritmo (passo-a-passo como se estivéssemos em prova).
  • A notação \log aqui significa logaritmo na base 10. Ou seja, \log y é o número tal que 10^{\log y}=y.
  • Propriedade útil: \log(a^b)=b\log a. Vou usar isso para calcular \log P quando P é potência de 2.
  • Outra propriedade: se soubermos \log A, para obter A fazemos A=10^{\log A}.
    Aplicaremos essas propriedades para calcular \log A com P=16 e H=100.

Passo 3

Calcular \log P e \log H:
  • P=16=2^4, então usando \log(2^4)=4\log 2 e a aproximação dada \log 2 \cong 0,30:
\log P = \log 16 = 4\log 2 \cong 4 \times 0,30 = 1,20.
  • H=100. Sabemos que \log 100 = 2 porque 100 = 10^2.
    Agora substituímos na fórmula:
\log A = 0,425\cdot \log P + 0,725\cdot \log H + 1,84.
Substituindo os valores:
\log A = 0,425\cdot 1{,}20 + 0,725\cdot 2 + 1{,}84.

Passo 4

Fazer as multiplicações e somas com cuidado:
  • 0{,}425 \times 1{,}20 = 0{,}425 \times (1 + 0{,}20) = 0{,}425 + 0{,}085 = 0{,}510.
  • 0{,}725 \times 2 = 1{,}450.
    Somando tudo:
\log A = 0{,}510 + 1{,}450 + 1{,}840 = 3{,}800.
Logo \log A = 3{,}8.
Agora voltamos ao valor de A usando A = 10^{\log A}:
A = 10^{3{,}8}.
Na tabela fornecida consta o valor de 10^{3{,}8}=6310. (Estou pegando esse dado diretamente da tabela do enunciado.)

Passo 5

Calcular a dose: é 1 mg para cada 100\\ \mathrm{cm}^2. Então a dose em mg é
\text{dose} = \frac{A}{100}\\ \text{mg} = \frac{6310}{100}\\ \text{mg} = 63{,}1\\ \text{mg}.
Interpretação prática: a dose adequada para Rafael é aproximadamente 63{,}1 mg; em situações clínicas costuma-se arredondar para um valor prático (por exemplo 63 mg), mas o cálculo dá 63{,}1 mg.

Resposta

63,1 mg

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