Cálculo numérico. Prova 2.

  1. Dada tabela dos valores:
x 1 2 \alpha 5 6
y 4 1 0 \beta 9
Determine \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. Da tabela recebida extraí os pontos (peguei esses dados da tabela do enunciado):
(1,4), (2,1), (\alpha,0), (5,\beta) e (6,9).
O que se pede: determinar \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio de segundo grau.
Ou seja, y(x) tem a forma geral \displaystyle y(x)=ax^2+bx+c com constantes a,b,c.
A informação essencial é que todos os pontos da tabela obedecem a esse polinômio.

Passo 2

Escolhemos três pontos com valores numéricos conhecidos (sem incógnitas) para determinar os coeficientes a,b,c. Vou usar os pontos (1,4), (2,1) e (6,9) — peguei esses pontos da tabela.
Substituindo cada ponto em \displaystyle y(x)=ax^2+bx+c obtemos o sistema:
\begin{cases} a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c = 4,\\[4pt] a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c = 1,\\[4pt] a\cdot 6^2 + b\cdot 6 + c = 9. \end{cases}
Escrevendo de forma simplificada:
\begin{cases} a + b + c = 4,\\[4pt] 4a + 2b + c = 1,\\[4pt] 36a + 6b + c = 9. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver o sistema por eliminação (passo a passo, sem pular etapas). Subtraio a primeira equação da segunda para eliminar c:
(4a+2b+c)-(a+b+c)=3a+b = 1-4 = -3,
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3a+b=-3. \tag{1}
Agora subtraio a segunda da terceira:
(36a+6b+c)-(4a+2b+c)=32a+4b = 9-1 = 8,
dividindo por 4:
8a+b=2. \tag{2}
Agora subtraio a equação (1) de (2) para eliminar b:
(8a+b)-(3a+b)=5a = 2-(-3)=5,
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a=1.

Passo 4

Com a=1 uso (1) para achar b:
3\cdot 1 + b = -3 \implies b = -3-3 = -6.
Com a e b uso a primeira equação a+b+c=4 para achar c:
1 + (-6) + c = 4 \implies c = 4-1+6 = 9.
Portanto os coeficientes são \displaystyle a=1,\; b=-6,\; c=9. O polinômio é
\displaystyle y(x)=x^2-6x+9.

Passo 5

Fatoro o polinômio para ver as raízes (isso é útil porque a tabela tem y=0 em x=\alpha):
x^2-6x+9=(x-3)^2.
Como y(\alpha)=0 (pela tabela), \alpha deve ser uma raiz do polinômio. A única raiz é x=3 (raiz dupla). Logo
\alpha = 3.

Passo 6

Agora calculo \beta usando y(5) (porque na tabela y(5)=\beta). Substituo x=5 no polinômio:
\beta = y(5)=5^2-6\cdot 5+9 = 25-30+9 = 4.
Para conferir rapidamente: y(1)=(1-3)^2=4, y(2)=(2-3)^2=1, y(6)=(6-3)^2=9, y(3)=0 — tudo coerente com a tabela.

Resposta

\alpha=3
\beta=4

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