O que precisamos encontrar: os valores numéricos de \alpha e \beta.
Passo 2
Vamos representar o polinômio do segundo grau da forma geral
y(x)=ax^{2}+bx+c,
onde \,a,b,c são coeficientes reais desconhecidos. Aqui:
a é o coeficiente que multiplica x^{2} (controla a curvatura),
b é o coeficiente que multiplica x (controla a inclinação linear),
c é o termo independente (o valor em x=0).
Como y(x) é um polinômio de grau 2, três pontos com abscissas distintas são suficientes para determinar unicamente a,b,c. A ideia é: usar três dos pares dados (com x distintos) para achar a,b,c e depois usar a expressão encontrada para obter \alpha (via y(\alpha)=0) e \beta (via y(6)).
Passo 3
Escolho os pontos com x=2,4,7\) (são três abscissas distintas e já têm \(y\) conhecidos). Substituindo em \(y(x)=ax^{2}+bx+c\) obtemos o sistema:
\[\begin{cases} 4a+2b+c=9,\\[4pt] 16a+4b+c=1,\\[4pt] 49a+7b+c=4. \end{cases}
Cada linha vem de substituir x\] e igualar ao \(y correspondente:
para x=2: a\cdot 2^{2}+b\cdot 2 + c = 9 implica 4a+2b+c=9,
para x=4: 16a+4b+c=1,
para x=7: 49a+7b+c=4.]
Passo 4
Queremos eliminar c para ficar com um sistema em a e b. Subtraímos a primeira equação da segunda e a segunda da terceira:
Subtraindo segunda menos primeira:
(16a+4b+c) - (4a+2b+c) = 1-9 \implies 12a+2b=-8.
Dividindo por 2:
6a+b=-4. \tag{1}
Subtraindo terceira menos segunda:
(49a+7b+c) - (16a+4b+c) = 4-1 \implies 33a+3b=3.
Dividindo por 3:
11a+b=1. \tag{2}
Passo 5
Agora temos o sistema linear em a,b\):
\[\begin{cases} 6a+b=-4,\\[4pt] 11a+b=1. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar (b]: (11a+b)-(6a+b)=1-(-4)\implies 5a=5.
Assim a=1.]
Passo 6
Com a=1, usamos (2) para achar b:
11\cdot 1 + b = 1 \implies b = 1-11 = -10.
Agora achamos c usando a primeira equação do sistema original:
4a+2b+c=9 \implies 4\cdot 1 + 2\cdot(-10) + c = 9.
Calculando:
4 -20 + c = 9 \implies -16 + c = 9 \implies c = 25.
Passo 7
Portanto o polinômio encontrado é
y(x)=x^{2}-10x+25.
Podemos observar que isso se factoriza como
y(x)=(x-5)^{2}.
Isto significa que a única raiz (com multiplicidade 2) é x=5.
Passo 8
Agora usamos o polinômio para determinar \alpha e \beta.
Para \alpha sabemos que y(\alpha)=0. Com y(x)=(x-5)^{2} temos
(\alpha-5)^{2}=0 \implies \alpha=5.
Para \beta temos \beta = y(6). Calculando:
y(6) = (6-5)^{2} = 1,
logo \beta=1.
Passo 9
Verificação rápida (para ficar tranquilo): y(2)=(2-5)^{2}=9, y(4)=1, y(7)=4 — coincide com os valores dados, portanto a solução é consistente.