Cálculo numérico. Prova 2.

  1. Dada tabela dos valores:
x 2 4 \alpha 6 7
y 9 1 0 \beta 4
Determine \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.

Passo 1

O enunciado dá a tabela com cinco pares (x,y):
(2,9),\; (4,1),\; (\alpha,0),\; (6,\beta),\; (7,4).
Pede-se determinar \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.
Informações relevantes que temos:
y(2)=9,\quad y(4)=1,\quad y(\alpha)=0,\quad y(6)=\beta,\quad y(7)=4.
O que precisamos encontrar: os valores numéricos de \alpha e \beta.

Passo 2

Vamos representar o polinômio do segundo grau da forma geral
y(x)=ax^{2}+bx+c,
onde \,a,b,c são coeficientes reais desconhecidos. Aqui:
  • a é o coeficiente que multiplica x^{2} (controla a curvatura),
  • b é o coeficiente que multiplica x (controla a inclinação linear),
  • c é o termo independente (o valor em x=0).
Como y(x) é um polinômio de grau 2, três pontos com abscissas distintas são suficientes para determinar unicamente a,b,c. A ideia é: usar três dos pares dados (com x distintos) para achar a,b,c e depois usar a expressão encontrada para obter \alpha (via y(\alpha)=0) e \beta (via y(6)).

Passo 3

Escolho os pontos com x=2,4,7\) (são três abscissas distintas e já têm \(y\) conhecidos). Substituindo em \(y(x)=ax^{2}+bx+c\) obtemos o sistema: \[\begin{cases} 4a+2b+c=9,\\[4pt] 16a+4b+c=1,\\[4pt] 49a+7b+c=4. \end{cases}
Cada linha vem de substituir x\] e igualar ao \(y correspondente:
  • para x=2: a\cdot 2^{2}+b\cdot 2 + c = 9 implica 4a+2b+c=9,
  • para x=4: 16a+4b+c=1,
  • para x=7: 49a+7b+c=4.]

Passo 4

Queremos eliminar c para ficar com um sistema em a e b. Subtraímos a primeira equação da segunda e a segunda da terceira:
Subtraindo segunda menos primeira:
(16a+4b+c) - (4a+2b+c) = 1-9 \implies 12a+2b=-8.
Dividindo por 2:
6a+b=-4. \tag{1}
Subtraindo terceira menos segunda:
(49a+7b+c) - (16a+4b+c) = 4-1 \implies 33a+3b=3.
Dividindo por 3:
11a+b=1. \tag{2}

Passo 5

Agora temos o sistema linear em a,b\): \[\begin{cases} 6a+b=-4,\\[4pt] 11a+b=1. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar (b]:
(11a+b)-(6a+b)=1-(-4)\implies 5a=5.
Assim
a=1.]

Passo 6

Com a=1, usamos (2) para achar b:
11\cdot 1 + b = 1 \implies b = 1-11 = -10.
Agora achamos c usando a primeira equação do sistema original:
4a+2b+c=9 \implies 4\cdot 1 + 2\cdot(-10) + c = 9.
Calculando:
4 -20 + c = 9 \implies -16 + c = 9 \implies c = 25.

Passo 7

Portanto o polinômio encontrado é
y(x)=x^{2}-10x+25.
Podemos observar que isso se factoriza como
y(x)=(x-5)^{2}.
Isto significa que a única raiz (com multiplicidade 2) é x=5.

Passo 8

Agora usamos o polinômio para determinar \alpha e \beta.
Para \alpha sabemos que y(\alpha)=0. Com y(x)=(x-5)^{2} temos
(\alpha-5)^{2}=0 \implies \alpha=5.
Para \beta temos \beta = y(6). Calculando:
y(6) = (6-5)^{2} = 1,
logo \beta=1.

Passo 9

Verificação rápida (para ficar tranquilo): y(2)=(2-5)^{2}=9, y(4)=1, y(7)=4 — coincide com os valores dados, portanto a solução é consistente.

Resposta

\alpha=5
\beta=1

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