Cálculo numérico. Prova 2.

  1. Dada tabela dos valores:
x 2 3 \alpha 6 7
y 4 1 0 \beta 9
Determine \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau e que os pares (x,y) estão organizados na tabela abaixo:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 2 & 3 & \alpha & 6 & 7\\hline y & 4 & 1 & 0 & \beta & 9 \end{array}
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos os pontos conhecidos (2,4), (3,1) e (7,9).
  • Temos um ponto com y=0 em x=\alpha, ou seja (\alpha,0).
  • Precisamos encontrar \alpha (o valor de x que zera o polinômio) e \beta (o valor de y quando x=6).
  • O polinômio y(x) é de grau 2 (ou seja, tem a forma geral com três coeficientes).

Passo 2

Escolhemos representar o polinômio quadrático na forma padrão
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são números reais desconhecidos. Explicando: um polinômio de segundo grau tem exatamente três coeficientes (a, b, c) e cada ponto (x,y) dá uma equação linear em a,b,c através de y=p(x). Três pontos distintos determinam unicamente p.

Passo 3

Usamos os três pontos conhecidos (2,4), (3,1) e (7,9) para escrever três equações para a,b,c. Substituindo cada par em p(x)=ax^{2}+bx+c obtemos:
4 = a\cdot 2^{2} + b\cdot 2 + c \quad\Rightarrow\quad 4a+2b+c=4,
1 = a\cdot 3^{2} + b\cdot 3 + c \quad\Rightarrow\quad 9a+3b+c=1,
9 = a\cdot 7^{2} + b\cdot 7 + c \quad\Rightarrow\quad 49a+7b+c=9.

Passo 4

Eliminamos c subtraindo pares de equações para obter equações apenas em a e b.
Subtraindo a primeira da segunda:
(9a+3b+c)-(4a+2b+c)=1-4 \quad\Rightarrow\quad 5a+b=-3.
Subtraindo a segunda da terceira:
(49a+7b+c)-(9a+3b+c)=9-1 \quad\Rightarrow\quad 40a+4b=8.
Dividindo a segunda por 4 para simplificar:
10a+b=2.

Passo 5

Agora temos o sistema simples para a\) e \(b\): \[\begin{cases} 5a+b=-3,\\[4pt] 10a+b=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar b\]: \[(10a+b)-(5a+b)=2-(-3)\quad\Rightarrow\quad 5a=5\quad\Rightarrow\quad a=1.\] Substituindo \(a=1 em 10a+b=2:
10\cdot 1 + b = 2 \quad\Rightarrow\quad b = 2-10 = -8.]

Passo 6

Encontramos c substituindo a e b em uma das equações iniciais, por exemplo 4a+2b+c=4:
4\cdot 1 + 2\cdot(-8) + c = 4 \quad\Rightarrow\quad 4-16+c=4 \quad\Rightarrow\quad c=16.
Logo o polinômio é
p(x)=1\cdot x^{2} -8x +16 = x^{2}-8x+16.

Passo 7

Observando p(x)=x^{2}-8x+16, fazemos uma fatoração (ou completamos o quadrado) para entender suas raízes:
x^{2}-8x+16 = (x-4)^{2}.
Isso mostra que a única raiz (com multiplicidade 2) é x=4. Como (\alpha,0) é um ponto do polinômio com y=0, temos
\alpha = 4.

Passo 8

Para obter \beta calculamos p(6) (pois o enunciado pede y quando x=6):
\beta = p(6) = (6-4)^{2} = 2^{2} = 4.

Passo 9

Verificação rápida: substituindo x=2,3,7 em p(x)=(x-4)^{2} obtemos 4,1,9 respectivamente, que coincidem com a tabela dada; e em x=4 obtemos 0, consistente com (\alpha,0). Portanto os valores encontrados são coerentes.

Resposta

\alpha=4
\beta=4

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