Cálculo numérico. Prova 2.
- Dada tabela dos valores:
x
2
3
6
7
y
4
1
0
9
Determine
e
sabendo que
é um polinômio do segundo grau.
| x | 2 | 3 |
|
6 | 7 |
| y | 4 | 1 | 0 |
|
9 |
Passo 1
O enunciado pede para determinar
e
sabendo que
é um polinômio do segundo grau e que os pares
estão organizados na tabela abaixo:
Informações relevantes fornecidas:
- Temos os pontos conhecidos
, e . - Temos um ponto com
em , ou seja . - Precisamos encontrar
(o valor de que zera o polinômio) e (o valor de quando ). - O polinômio
é de grau 2 (ou seja, tem a forma geral com três coeficientes).
Passo 2
Escolhemos representar o polinômio quadrático na forma padrão
onde
,
e
são números reais desconhecidos. Explicando: um polinômio de segundo grau tem exatamente três coeficientes (a, b, c) e cada ponto
dá uma equação linear em
através de
. Três pontos distintos determinam unicamente
.
Passo 3
Usamos os três pontos conhecidos
,
e
para escrever três equações para
. Substituindo cada par em
obtemos:
Passo 4
Eliminamos
subtraindo pares de equações para obter equações apenas em
e
.
Subtraindo a primeira da segunda:
Subtraindo a primeira da segunda:
Subtraindo a segunda da terceira:
Dividindo a segunda por
para simplificar:
Passo 5
Agora temos o sistema simples para
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar
em
:
Passo 6
Encontramos
substituindo
e
em uma das equações iniciais, por exemplo
:
Logo o polinômio é
Passo 7
Observando
, fazemos uma fatoração (ou completamos o quadrado) para entender suas raízes:
Isso mostra que a única raiz (com multiplicidade 2) é
. Como
é um ponto do polinômio com
, temos
Passo 8
Para obter
calculamos
(pois o enunciado pede
quando
):
Passo 9
Verificação rápida: substituindo
em
obtemos
respectivamente, que coincidem com a tabela dada; e em
obtemos
, consistente com
. Portanto os valores encontrados são coerentes.