Determine a altura de um cilindro reto em função da altura h de um semicilindro, sabendo que as áreas laterais são iguais e as bases equivalentes.

Passo 1

O enunciado compara dois sólidos:
– Um cilindro reto de raio R e altura H.
– Um semicilindro de raio r e altura h.
Queremos achar H em função de h, sabendo que
  1. as áreas laterais são iguais;
  2. as áreas das bases são equivalentes.
    O conteúdo aqui é o cálculo de área lateral e área de base de cilindros.

Passo 2

Calculemos primeiro as áreas laterais.
A área lateral do cilindro é
Alat, cil = 2pi R,H
A área lateral do semicilindro é metade da do cilindro de mesma base e altura, ou seja,
Alat, semi = tfrac12l(2pi r,hr)=pi r,h

Passo 3

Como as áreas laterais são iguais, impomos
2pi R,H ;=;pi r,h Longrightarrow 2R,H = r,h

Passo 4

Agora igualamos as “bases equivalentes”. A base do cilindro tem área
Abase, cil = pi R^2
O semicilindro tem duas bases semicirculares, cuja soma de área é
2cdot12pi r^2 = pi r^2
Logo
pi R^2 = pi r^2 Longrightarrow R = r(assumindo R,r>0)

Passo 5

Substituindo R=r em 2R,H=r,h vem
2r,H = r,h Longrightarrow 2H = h Longrightarrow H = h2

Resposta

H = h2

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