Determine a área lateral de um cilindro reto de 30 pi cm^2 de área total, sendo o raio da base 32 da medida da altura do cilindro.

Solução

Sendo ro raio da base e h a altura, temos:
& At=30 pi Rightarrow Aell+2 B=30 pi Rightarrow 2 pi r h+2 pi r^2=30 pi Rightarrow & rl Rightarrow r h+r^2 & =15 r & =32 h Rightarrow 32 h^2+94 h^2=15 Rightarrow 15 h^2=60 Rightarrow h=2
Com h=2 e r=32 h, vem que r=3.
Área lateral: Aell=2 pi r h Rightarrow Aell=2 pi cdot 3 cdot 2 Rightarrow Aell=12 pi
Resposta: 12 pi cm^2.

Passo 1

O enunciado pede a área lateral de um cilindro reto cuja área total vale 30pi,cm^{2}), sabendo que o raio da base é tfrac32 vezes a altura. O que vamos usar:
– Fórmula da área total de um cilindro:
At = Aell + 2B = 2pi r h + 2pi r^2
– Relação entre raio r e altura h:
r = 32,h

Passo 2

Escrevendo a condição At=30pi e dividindo tudo por pi, obtemos
2pi r h + 2pi r^2 = 30pi Longrightarrow 2,r h + 2,r^2 = 30 Longrightarrow r h + r^2 = 15

Passo 3

Agora substituímos r = tfrac32h na equação r h + r^2=15:
32h cdot h ;+;l(32hr)^2 = 15 Longrightarrow 32h^2 + 94h^2 = 15 Longrightarrow 154h^2 = 15 Longrightarrow h^2=4 Longrightarrow h=2 cm

Passo 4

Com h=2 cm e r=tfrac32h, temos
r = 32 times 2 = 3 cm

Passo 5

Finalmente, a área lateral é
Aell = 2pi r h = 2pi times 3 times 2 = 12pi cm^2

Resposta

12pi c m^2

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