Determine inteirosm m e n tais que 2^{m} \cdot 5^{n}=0,0032.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar inteiros m e n tais que
2^{m}\cdot5^{n}=0,0032.
Para isso vamos usar propriedades de potências e a decomposição de números decimais em potências de 10.

Passo 2

Primeiro convertemos o decimal em fração com potência de 10:
0,0032 = \frac{32}{10^{4}}.

Passo 3

Agora fatoramos numerador e denominador em potências de 2 e 5:
32 = 2^{5}, \qquad 10^{4} = (2\cdot5)^{4} = 2^{4}\cdot5^{4}.
Logo
\frac{32}{10^{4}} = \frac{2^{5}}{2^{4}\cdot5^{4}}.

Passo 4

Aplicamos a regra de divisão de potências de mesma base para 2:
\frac{2^{5}}{2^{4}} = 2^{5-4} = 2^{1}
e deixamos 5^{4} no denominador como potência negativa:
\frac{2^{5}}{2^{4}\cdot5^{4}} = 2^{1}\cdot5^{-4}.
Portanto
0,0032 = 2^{1}\cdot5^{-4}.

Resposta

m = 1 e n = -4.

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