4- O campo elétrico de uma barra fina e infinita é equivalente ao campo de uma linha infinita de carga. Uma linha infinita de carga produz um campo de
a uma distância de 2 m da linha. Determine o valor da densidade linear de carga, considerada constante.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga:
(a uma distância do eixo). - Dá a distância até a linha:
. - Pede a densidade linear de carga, considerada constante:
(unidade: ).
Passo 2
Ideia física e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo).
- Para uma linha infinita de carga com densidade linear
e simetria cilíndrica, a maneira mais simples e correta de obter o campo é usar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss em forma integral diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga encerrada dividida pela permissividade do vácuo:
- Escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha de carga, de raio
e comprimento . Por simetria, o campo tem mesma magnitude em toda a superfície lateral e é radial, perpendicular à lateral. As tampas do cilindro não contribuem porque o campo é paralelo às tampas (ou nulo nelas), então só conta a lateral. - A área lateral do cilindro vale
. - A carga interna é
.
Passo 3
Aplicando Gauss e isolando
.
- Substituindo na Lei de Gauss:
- Cancelando
(que aparece dos dois lados) obtém-se a expressão conhecida para o campo de uma linha infinita:
- Aqui:
-
é a magnitude do campo elétrico na distância , -
é a densidade linear de carga (o que queremos), -
é a permissividade elétrica do vácuo, -
é a distância radial até a linha.
-
Passo 4
Isolando
da fórmula.
- Rearranjando a fórmula para obter
:
Passo 5
Valores numéricos e cálculo passo a passo.
- Usar
. Os dados do enunciado (peguei do enunciado): e . - Substituindo:
- Primeiro calcular o fator geométrico
. Assim:
- Calcule por etapas (aproximações controladas):
-
. -
- Multiplicando por
:
-
-
. - Logo
- Arredondando de forma razoável (os dados têm duas a três algarismos significativos), fica
que também pode ser escrito como
.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova.
- Resultado: a densidade linear é da ordem de
, ou seja microcoulombs por metro. - Dica de memorização: a fórmula útil é
de onde sempre isolam-se as variáveis conforme o que o problema pede. Para derivar, lembrar do cilindro gaussiano e do cancelamento do comprimento
.