4- O campo elétrico de uma barra fina e infinita é equivalente ao campo de uma linha infinita de carga. Uma linha infinita de carga produz um campo de 4,5 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} a uma distância de 2 m da linha. Determine o valor da densidade linear de carga, considerada constante.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga: E = 4,5\times10^{4}\\ \mathrm{N/C} (a uma distância do eixo).
  • Dá a distância até a linha: r = 2\\ \mathrm{m}.
  • Pede a densidade linear de carga, considerada constante: \lambda (unidade: \mathrm{C/m}).

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo).
  • Para uma linha infinita de carga com densidade linear \lambda e simetria cilíndrica, a maneira mais simples e correta de obter o campo é usar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss em forma integral diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga encerrada dividida pela permissividade do vácuo:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
  • Escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha de carga, de raio r e comprimento L. Por simetria, o campo tem mesma magnitude E em toda a superfície lateral e é radial, perpendicular à lateral. As tampas do cilindro não contribuem porque o campo é paralelo às tampas (ou nulo nelas), então só conta a lateral.
  • A área lateral do cilindro vale A_{\text{lat}}=2\pi r L.
  • A carga interna é Q_{\text{int}}=\lambda L.

Passo 3

Aplicando Gauss e isolando E.
  • Substituindo na Lei de Gauss:
E\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
  • Cancelando L (que aparece dos dois lados) obtém-se a expressão conhecida para o campo de uma linha infinita:
E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}.
  • Aqui:
    • E é a magnitude do campo elétrico na distância r,
    • \lambda é a densidade linear de carga (o que queremos),
    • \epsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo,
    • r é a distância radial até a linha.

Passo 4

Isolando \lambda da fórmula.
  • Rearranjando a fórmula para obter \lambda:
\lambda = 2\pi\epsilon_0 r E.

Passo 5

Valores numéricos e cálculo passo a passo.
  • Usar \epsilon_0 \approx 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. Os dados do enunciado (peguei do enunciado): E=4,5\times10^{4}\\ \mathrm{N/C} e r=2\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo:
\lambda = 2\pi\,(8,85\times10^{-12})\,(2)\,(4,5\times10^{4}).
  • Primeiro calcular o fator geométrico 2\pi r = 2\pi\cdot2 = 4\pi. Assim:
\lambda = (4\pi)\,(8,85\times10^{-12})\,(4,5\times10^{4}).
  • Calcule por etapas (aproximações controladas):
    • 4\pi \approx 12{,}5663706.
    • (4\pi)\,(8,85\times10^{-12}) \approx 12{,}5663706\times8{,}85\times10^{-12} \approx 1{,}1121238\times10^{-10}.
    • Multiplicando por 4,5\times10^{4}:
\lambda \approx 1{,}1121238\times10^{-10}\times4{,}5\times10^{4} = (1{,}1121238\times4{,}5)\times10^{-6}.
  • 1{,}1121238\times4{,}5 \approx 5{,}0045571.
  • Logo
\lambda \approx 5{,}0045571\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • Arredondando de forma razoável (os dados têm duas a três algarismos significativos), fica
\lambda \approx 5{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m},
que também pode ser escrito como 5{,}00\\ \mu\mathrm{C/m}.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova.
  • Resultado: a densidade linear é da ordem de 10^{-6}\\ \mathrm{C/m}, ou seja microcoulombs por metro.
  • Dica de memorização: a fórmula útil é
E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r},
de onde sempre isolam-se as variáveis conforme o que o problema pede. Para derivar, lembrar do cilindro gaussiano e do cancelamento do comprimento L.

Resposta

\lambda = 5{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}

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