Um canal retangular de largura 3 m transporta uma vazão de
. O coeficiente de Manning é 0,014 , e a declividade do fundo é 0,001.
Determine a profundidade normal y do escoamento.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a profundidade normal
de escoamento em um canal retangular, dadas as seguintes informações:
- largura do canal:
; - vazão:
; - coeficiente de Manning:
; - declividade do fundo:
.
A pergunta é: determinar a profundidade normal
que satisfaz essas condições.
Passo 2
Vou apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada termo com calma.
A equação de Manning para vazão em canais livres é
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de Manning (adimensional, dado); -
é a área da seção molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por , com perímetro molhado ( ); -
é a declividade da energia (aqui tomada como a declividade do fundo , adimensional).
Para um canal retangular com largura
e profundidade
:
Substituindo essas expressões na equação de Manning obtemos uma equação em
somente:
Passo 3
Agora escrevo explicitamente a equação que precisamos resolver (todos os símbolos já definidos):
Com os valores conhecidos
,
,
,
, a equação fica
Vou simplificar constantes para facilitar os cálculos numéricos manuais. Calculemos primeiro:
Multiplicando:
Então a equação pode ser escrita como
Definindo
, obtemos
e a equação final para avaliação numérica é
Passo 4
Essa equação não é explícita em
(não dá para isolar
algebricamente de forma simples), então vamos resolver numericamente. Vou usar um método prático e fácil de fazer sem programação: tentativa e erro guiada (bissecção/interpolação). A ideia:
- calcular
para alguns valores de ; - encontrar um intervalo onde
muda de ser menor que para maior que ; - refinar esse intervalo por tentativas até obter a precisão desejada.
Vou detalhar cada avaliação passo a passo para você saber exatamente o que fazer na prova.
Passo 5
Avaliação em
.
Calcule:
Agora
Portanto
Como
, a profundidade necessária é maior que
.
Passo 6
Avaliação em
.
Calcule:
Como
, a profundidade está entre
e
.
Passo 7
Refinando: avaliação em
.
Calcule:
Aqui
, então
está entre
e
.
Passo 8
Mais refinamento: avaliação em
.
Calcule:
(esse valor de
obtém-se por cálculo do logaritmo ou tabelas, aqui uso aproximação).
Agora
. Logo
está entre
e
.
Passo 9
Avaliação em
para fechar melhor o intervalo.
Calcule:
Aqui
. Assim
está entre
e
.
Passo 10
Avaliação em
.
Calcule:
Agora
, então
está entre
e
.
Passo 11
Interpolação linear simples entre
e
(ou entre
e
) para uma aproximação final. Usando os valores mais próximos que calculamos:
-
; -
(avaliado antes) .
Interpolando para
:
Calcule a fração:
então
Passo 12
Resultado final e verificação rápida: com
a expressão de Manning dá
muito próxima de
(diferença residual pequena, índice de erro aceitável para cálculo manual). Esse valor é coerente com as avaliações anteriores e está dentro do intervalo encontrado por bissecção.
Força e calma — esse tipo de problema pede paciência com tentativas numéricas, mas o procedimento é sempre o mesmo: escrever a equação de Manning, expressar
e
, e resolver numericamente por tentativas/refinamento.