Um canal trapezoidal possui inclinação dos taludes 1:2 (horizontal:vertical) e largura de base igual a 2 m . A vazão do escoamento é de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, e a declividade do fundo do canal é 0,0015 . O coeficiente de Manning é 0,015.
Determine a profundidade normal y do escoamento.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a profundidade normal y de escoamento em um canal trapezoidal, dadas as seguintes informações:
inclinação dos taludes: 1:2 (horizontal:vertical), ou seja, a projeção horizontal por unidade vertical é z=\dfrac{1}{2};
largura de base: b=2\\ \mathrm{m};
vazão: Q=10\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s};
declividade do fundo: S=0,0015;
coeficiente de Manning: n=0,015.
Resumo do que será calculado: encontrar y tal que a equação de Manning seja satisfeita:
Q=\frac{1}{n}\,A(y)\,R(y)^{2/3}\,S^{1/2},
onde A(y) é a área molhada e R(y)=\dfrac{A(y)}{P(y)} é o raio hidráulico (com P(y) o perímetro molhado). A seguir vamos deduzir A(y) e P(y) para o trapezoide e resolver numericamente a equação para y.
Passo 2
Geometria do canal trapezoidal com base b e talude com razão horizontal:vertical z.
Desenho mental: profundidade y. Em cada lateral a projeção horizontal é z\,y. Portanto a largura no topo é
T=b+2z y.
Área da seção molhada (trapézio):
A=b\,y+z\,y^{2}.
Explicação: área do trapézio = \dfrac{(b+T)}{2}\cdot y. Substituindo T=b+2zy dá A=(b+z y)\,y=b y+z y^{2}.
Perímetro molhado (base + dois lados inclinados). O comprimento de cada lado inclinado é a hipotenusa de catetos y (vertical) e z y (horizontal), logo
Observação didática: essa equação é não-linear em y e não tem solução analítica simples; portanto resolve-se numericamente por tentativa (método da bissecção, interpolação linear ou iteração). Vou usar tentativa guiada (bissecção/interpolação) com cálculos manuais apresentados passo a passo.
Como para y=1{,}6 obtivemos Q\approx9{,}99 e para y=1{,}603 obtivemos Q\approx10{,}02, pela interpolação linear aproxima-se a solução y\approx1{,}601\\ \mathrm{m} (ou seja, um pouco acima de 1{,}6\\ \mathrm{m}).
Passo 8
Conclusão numérica com arredondamento prático.
Dado o nível de precisão típico em problemas hidráulicos sem uso de solver mais refinado, uma profundidade normal igual a
y\approx 1{,}60\\ \mathrm{m}
satisfaz a equação de Manning para Q=10\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} com os parâmetros fornecidos. Se desejar maior precisão, a iteração mostrada indica y\approx1{,}601\\ \mathrm{m}.