Um canal trapezoidal possui inclinação dos taludes 1:2 (horizontal:vertical) e largura de base igual a 2 m . A vazão do escoamento é de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, e a declividade do fundo do canal é 0,0015 . O coeficiente de Manning é 0,015.
Determine a profundidade normal y do escoamento.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a profundidade normal y de escoamento em um canal trapezoidal, dadas as seguintes informações:
  • inclinação dos taludes: 1:2 (horizontal:vertical), ou seja, a projeção horizontal por unidade vertical é z=\dfrac{1}{2};
  • largura de base: b=2\\ \mathrm{m};
  • vazão: Q=10\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s};
  • declividade do fundo: S=0,0015;
  • coeficiente de Manning: n=0,015.
Resumo do que será calculado: encontrar y tal que a equação de Manning seja satisfeita:
Q=\frac{1}{n}\,A(y)\,R(y)^{2/3}\,S^{1/2},
onde A(y) é a área molhada e R(y)=\dfrac{A(y)}{P(y)} é o raio hidráulico (com P(y) o perímetro molhado). A seguir vamos deduzir A(y) e P(y) para o trapezoide e resolver numericamente a equação para y.

Passo 2

Geometria do canal trapezoidal com base b e talude com razão horizontal:vertical z.
  • Desenho mental: profundidade y. Em cada lateral a projeção horizontal é z\,y. Portanto a largura no topo é
T=b+2z y.
  • Área da seção molhada (trapézio):
A=b\,y+z\,y^{2}.
Explicação: área do trapézio = \dfrac{(b+T)}{2}\cdot y. Substituindo T=b+2zy A=(b+z y)\,y=b y+z y^{2}.
  • Perímetro molhado (base + dois lados inclinados). O comprimento de cada lado inclinado é a hipotenusa de catetos y (vertical) e z y (horizontal), logo
\text{lado}=y\sqrt{1+z^{2}}.
Portanto
P=b+2y\sqrt{1+z^{2}}.
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{b y+z y^{2}}{\,b+2y\sqrt{1+z^{2}}\,}.
Aqui b, z, n, S são conhecidos; y é a incógnita que entra em A e R. Agora colocamos isso na equação de Manning.

Passo 3

Escrever explicitamente a equação a resolver.
A equação de Manning é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo A e R em função de y:
Q=\frac{1}{n}\,\bigl(b y+z y^{2}\bigr)\left(\frac{b y+z y^{2}}{\,b+2y\sqrt{1+z^{2}}\,}\right)^{2/3}S^{1/2}.
Colocando os valores conhecidos b=2, z=\tfrac{1}{2}, n=0,015, S=0,0015, a equação numérica fica
10=\frac{1}{0,015}\bigl(2y+\tfrac{1}{2}y^{2}\bigr)\left(\frac{2y+\tfrac{1}{2}y^{2}}{\,2+2y\sqrt{1+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}\,}\right)^{2/3}\sqrt{0,0015}.
Observação didática: essa equação é não-linear em y e não tem solução analítica simples; portanto resolve-se numericamente por tentativa (método da bissecção, interpolação linear ou iteração). Vou usar tentativa guiada (bissecção/interpolação) com cálculos manuais apresentados passo a passo.

Passo 4

Preparar constantes e expressões numéricas úteis.
  • z=\tfrac{1}{2}=0,5.
  • \sqrt{1+z^{2}}=\sqrt{1+0,25}=\sqrt{1,25}\approx 1,11803.
  • \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{0,015}=66{,}666\ldots
  • \sqrt{S}=\sqrt{0,0015}. Aproximação:
\sqrt{0,0015}\approx 0,0387298.
Para cada tentativa de y vamos calcular, na ordem: A=2y+0,5y^{2}, P=2+2y\cdot1,11803, R=A/P, R^{2/3}, e então
Q_{\text{calc}}=\frac{1}{0,015}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{0,0015}.

Passo 5

Primeiras tentativas para localizar intervalo onde está a solução.
Tentativa 1: y=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • A=2(1)+0,5(1)^{2}=2+0,5=2{,}5\\ \mathrm{m}^{2}.
  • P=2+2(1)(1,11803)=2+2{,}23606=4{,}23606\\ \mathrm{m}.
  • R=\dfrac{2{,}5}{4{,}23606}\approx 0{,}5899\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}\approx 0{,}5899^{2/3}. Calcular: \ln(0{,}5899)\approx -0{,}5276, multiplicar por 2/3 -0{,}3517, exponenciar \Rightarrow R^{2/3}\approx 0{,}7037.
  • Q_{\text{calc}}=66{,}6667\cdot 2{,}5\cdot 0{,}7037\cdot 0{,}0387298.
    • 2{,}5\cdot0{,}7037=1{,}7592.
    • 1{,}7592\cdot0{,}0387298\approx0{,}0681.
    • 0{,}0681\cdot66{,}6667\approx4{,}54\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Conclusão: para y=1{,}0 obtém-se Q\approx4{,}54<10. Profundidade precisa ser maior.
Tentativa 2: y=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • A=2(2)+0,5(2)^{2}=4+2=6{,}0\\ \mathrm{m}^{2}.
  • P=2+2(2)(1,11803)=2+4{,}47212=6{,}47212\\ \mathrm{m}.
  • R=6{,}0/6{,}47212\approx0{,}9268\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}: \ln(0{,}9268)\approx-0{,}0756 \Rightarrow times 2/3 \Rightarrow-0{,}0504 \Rightarrow R^{2/3}\approx0{,}9508.
  • Q_{\text{calc}}=66{,}6667\cdot6{,}0\cdot0{,}9508\cdot0{,}0387298.
    • 6{,}0\cdot0{,}9508=5{,}7048.
    • 5{,}7048\cdot0{,}0387298\approx0{,}2209.
    • 0{,}2209\cdot66{,}6667\approx14{,}73\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Conclusão: para y=2{,}0 obtém-se Q\approx14{,}73>10. Portanto a solução está entre 1{,}0 e 2{,}0.

Passo 6

Refinar pelo método da bissecção/interpolação. Teste em y=1{,}6\\ \mathrm{m}.
Cálculos detalhados para y=1{,}6:
  • A=2(1{,}6)+0,5(1{,}6)^{2}=3{,}2+0,5\cdot2{,}56=3{,}2+1{,}28=4{,}48\\ \mathrm{m}^{2}.
  • P=2+2(1{,}6)(1,11803)=2+3{,}2\cdot1,11803=2+3{,}5777=5{,}5777\\ \mathrm{m}.
  • R=\dfrac{4{,}48}{5{,}5777}\approx0{,}8030\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}: \ln(0{,}8030)\approx-0{,}2198. Multiplicar por 2/3 -0{,}1465. Exponenciando: R^{2/3}\approx0{,}8638.
  • Q_{\text{calc}}=66{,}6667\cdot4{,}48\cdot0{,}8638\cdot0{,}0387298.
    • 4{,}48\cdot0{,}8638=3{,}8727.
    • 3{,}8727\cdot0{,}0387298\approx0{,}14986.
    • 0{,}14986\cdot66{,}6667\approx9{,}99\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Resultado: Q_{\text{calc}}\approx9{,}99, muito próximo de 10. Portanto y está bem perto de 1{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Pequeno ajuste para chegar a Q=10. Teste em y=1{,}603\\ \mathrm{m} (pequena variação).
Cálculo rápido para y=1{,}603:
  • A=2(1{,}603)+0,5(1{,}603)^{2}=3{,}206+0,5\cdot2{,}5696\approx3{,}206+1{,}2848=4{,}4908\\ \mathrm{m}^{2}.
  • P=2+2(1{,}603)(1,11803)=2+3{,}206\cdot1,11803\approx2+3{,}5820=5{,}5820\\ \mathrm{m}.
  • R=4{,}4908/5{,}5820\approx0{,}8045\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}\approx0{,}8649 (cálculo via logaritmo como antes).
  • Q_{\text{calc}}=66{,}6667\cdot4{,}4908\cdot0{,}8649\cdot0{,}0387298\approx10{,}02\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Como para y=1{,}6 obtivemos Q\approx9{,}99 e para y=1{,}603 obtivemos Q\approx10{,}02, pela interpolação linear aproxima-se a solução y\approx1{,}601\\ \mathrm{m} (ou seja, um pouco acima de 1{,}6\\ \mathrm{m}).

Passo 8

Conclusão numérica com arredondamento prático.
Dado o nível de precisão típico em problemas hidráulicos sem uso de solver mais refinado, uma profundidade normal igual a
y\approx 1{,}60\\ \mathrm{m}
satisfaz a equação de Manning para Q=10\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} com os parâmetros fornecidos. Se desejar maior precisão, a iteração mostrada indica y\approx1{,}601\\ \mathrm{m}.

Resposta

y\approx 1{,}60\\ \mathrm{m}

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