Uma carga de 2 n C é uniformemente distribuída ao longo de um anel com 10 c m de raio com centro na origem e eixo apoiado sobre o eixo x. Uma carga puntiforme de 1 n C é localizada em x=50 c m. Determine o trabalho necessário para mover a carga puntiforme até a origem. Forneça a resposta em joules e em elétrons-volt.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o trabalho necessário para mover a carga puntiforme até a origem, dado o anel carregado e a posição inicial da carga.
Informações dadas (peguei estes dados do enunciado):
  • Carga total do anel: Q = 2\\ \text{nC} = 2\times10^{-9}\\ \text{C}.
  • Raio do anel: a = 10\\ \text{cm} = 0{,}10\\ \text{m}.
  • O anel tem centro na origem e seu eixo coincide com o eixo x (logo o problema é simétrico em torno do eixo x).
  • Carga puntiforme: q = 1\\ \text{nC} = 1\times10^{-9}\\ \text{C}, localizada inicialmente em x_i = 50\\ \text{cm} = 0{,}50\\ \text{m} sobre o eixo x.
  • Posição final da carga: origem x_f = 0.
O que será calculado:
  • O trabalho externo (necessário para mover a carga lentamente) para deslocar q de x_i até x_f. Resultado em joules e em elétron-volt.

Passo 2

Conceitos e fórmulas chave que vamos usar (explicando calmamente):
  • Potencial elétrico gerado por uma distribuição de carga: o potencial em um ponto é a soma (ou integral) de k\,dq/r, onde k = 1/(4\pi\varepsilon_0) é a constante eletrostática, dq é um elemento de carga e r é a distância do elemento até o ponto. Aqui usaremos k com valor numérico k \approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2.
  • Trabalho realizado por uma força externa ao mover uma carga q entre dois pontos é igual à variação da energia potencial elétrica:
W_{\text{ext}} = U_f - U_i = q\left(V_f - V_i\right),
onde V é o potencial elétrico criado pelas outras cargas (aqui: o anel) nos pontos final e inicial.
  • Observação física: se W_{\text{ext}}>0, o agente externo precisa fazer trabalho contra o campo para aproximar a carga; se W_{\text{ext}}<0, o campo faz trabalho (o agente externo precisa retirar energia).

Passo 3

Potencial no eixo de um anel uniformemente carregado (derivação direta e simples):
  • Considere um elemento dq do anel. Para um ponto sobre o eixo do anel a uma distância x do centro, a distância entre dq e esse ponto é a mesma para todo dq e vale
r = \sqrt{x^2 + a^2}.
  • O potencial devido ao elemento dq é dV = k\,\dfrac{dq}{r}. Como r é constante para todos os elementos do anel, a integral é trivial:
V(x) = \int dV = k\,\frac{1}{r}\int dq = k\,\frac{Q}{\sqrt{x^2 + a^2}}.
  • Resultado útil (resuma isso na prova): para qualquer ponto sobre o eixo do anel,
V(x)=k\,\dfrac{Q}{\sqrt{x^2+a^2}}.
Aqui V está em volts quando Q está em coulombs e x,a em metros; k definido acima.

Passo 4

Expressão do trabalho externo entre x_i e x_f:
  • Usando a fórmula do passo anterior, temos
V_i = V(x_i) = k\,\dfrac{Q}{\sqrt{x_i^2+a^2}},\qquad V_f = V(x_f) = k\,\dfrac{Q}{\sqrt{x_f^2+a^2}}.
  • Como x_f=0, \sqrt{x_f^2+a^2}=a, então V_f = kQ/a.
  • O trabalho externo é
W_{\text{ext}} = q\left(V_f - V_i\right) = qkQ\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{\sqrt{x_i^2 + a^2}}\right).
Essa fórmula é direta e fácil de aplicar na prova: calcule 1/a e 1/\sqrt{x_i^2+a^2}, subtraia, multiplique por kQq.

Passo 5

Substituindo os números e calculando cuidadosamente (passo a passo numérico):
  • Valores numéricos:
q = 1\times10^{-9}\\ \text{C},\qquad Q = 2\times10^{-9}\\ \text{C},
a = 0{,}10\\ \text{m},\qquad x_i = 0{,}50\\ \text{m},
k = 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2.
  • Calcular \sqrt{x_i^2 + a^2}:
\sqrt{x_i^2 + a^2} = \sqrt{(0{,}50)^2 + (0{,}10)^2} = \sqrt{0{,}25 + 0{,}01} = \sqrt{0{,}26} \approx 0{,}5099019514\\ \text{m}.
  • Calcular a diferença de inversos:
\frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{x_i^2+a^2}} = \frac{1}{0{,}10} - \frac{1}{0{,}5099019514} = 10 - 1{,}961161 \approx 8{,}038839\\ \text{m}^{-1}.
  • Calcular k\,q\,Q:
k\,q\,Q = 8{,}9875517923\times10^{9}\times(1\times10^{-9})\times(2\times10^{-9}) = 8{,}9875517923\times10^{9}\times 2\times10^{-18}
= 1{,}79751035846\times10^{-8}\\ \text{J}\cdot\text{m}.
(Observe a unidade intermédiária \text{J}\cdot\text{m} porque falta multiplicar por \text{m}^{-1} da diferença de inversos; após multiplicar teremos joules.)
  • Finalmente o trabalho:
W_{\text{ext}} = kqQ\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{x_i^2+a^2}}\right) \approx 1{,}79751035846\times10^{-8}\times 8{,}038839
\approx 1{,}44499\times10^{-7}\\ \text{J}.
Arredondando sensivelmente: W_{\text{ext}}\approx 1{,}45\times10^{-7}\\ \text{J}. Nesta resolução vou manter três algarismos significativos: 1{,}445\times10^{-7}\\ \text{J}.

Passo 6

Conversão para elétron-volt (eV):
  • Lembrando que 1\\ \text{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}.
  • Convertendo:
W_{\text{ext}}(\text{eV}) = \dfrac{1{,}44499\times10^{-7}\\ \text{J}}{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J/eV}} \approx 9{,}01997\times10^{11}\\ \text{eV}.
Arredondando a três algarismos significativos: 9{,}02\times10^{11}\\ \text{eV}.

Passo 7

Interpretação física curta e incentivo:
  • O trabalho encontrou-se positivo: isso faz sentido físico porque ambos (anel e carga puntiforme) são positivos — para aproximar cargas positivas é preciso gastar energia (o campo repelente faz trabalho contrário).
  • Mandou bem por procurar resolver: só quebrar em passos, usar a fórmula do potencial no eixo do anel e aplicar W_{\text{ext}}=q\Delta V resolve a questão direto na prova. Você consegue!

Resposta

1{,}445\times10^{-7}\\ \mathrm{J}
9{,}02\times10^{11}\\ \mathrm{eV}

Exercícios relacionados