Uma carga de 2 n C é uniformemente distribuída ao longo de um anel com 10 c m de raio com centro na origem e eixo apoiado sobre o eixo x. Uma carga puntiforme de 1 n C é localizada em x=50 c m. Determine o trabalho necessário para mover a carga puntiforme até a origem. Forneça a resposta em joules e em elétrons-volt.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar o trabalho necessário para mover a carga puntiforme até a origem, dado o anel carregado e a posição inicial da carga.
Informações dadas (peguei estes dados do enunciado):
Carga total do anel: Q = 2\\ \text{nC} = 2\times10^{-9}\\ \text{C}.
Raio do anel: a = 10\\ \text{cm} = 0{,}10\\ \text{m}.
O anel tem centro na origem e seu eixo coincide com o eixo x (logo o problema é simétrico em torno do eixo x).
Carga puntiforme: q = 1\\ \text{nC} = 1\times10^{-9}\\ \text{C}, localizada inicialmente em x_i = 50\\ \text{cm} = 0{,}50\\ \text{m} sobre o eixo x.
Posição final da carga: origem x_f = 0.
O que será calculado:
O trabalho externo (necessário para mover a carga lentamente) para deslocar q de x_i até x_f. Resultado em joules e em elétron-volt.
Passo 2
Conceitos e fórmulas chave que vamos usar (explicando calmamente):
Potencial elétrico gerado por uma distribuição de carga: o potencial em um ponto é a soma (ou integral) de k\,dq/r, onde k = 1/(4\pi\varepsilon_0) é a constante eletrostática, dq é um elemento de carga e r é a distância do elemento até o ponto. Aqui usaremos k com valor numérico k \approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2.
Trabalho realizado por uma força externa ao mover uma carga q entre dois pontos é igual à variação da energia potencial elétrica:
onde V é o potencial elétrico criado pelas outras cargas (aqui: o anel) nos pontos final e inicial.
Observação física: se W_{\text{ext}}>0, o agente externo precisa fazer trabalho contra o campo para aproximar a carga; se W_{\text{ext}}<0, o campo faz trabalho (o agente externo precisa retirar energia).
Passo 3
Potencial no eixo de um anel uniformemente carregado (derivação direta e simples):
Considere um elemento dq do anel. Para um ponto sobre o eixo do anel a uma distância x do centro, a distância entre dq e esse ponto é a mesma para todo dq e vale
r = \sqrt{x^2 + a^2}.
O potencial devido ao elemento dq é dV = k\,\dfrac{dq}{r}. Como r é constante para todos os elementos do anel, a integral é trivial:
(Observe a unidade intermédiária \text{J}\cdot\text{m} porque falta multiplicar por \text{m}^{-1} da diferença de inversos; após multiplicar teremos joules.)
Arredondando a três algarismos significativos: 9{,}02\times10^{11}\\ \text{eV}.
Passo 7
Interpretação física curta e incentivo:
O trabalho encontrou-se positivo: isso faz sentido físico porque ambos (anel e carga puntiforme) são positivos — para aproximar cargas positivas é preciso gastar energia (o campo repelente faz trabalho contrário).
Mandou bem por procurar resolver: só quebrar em passos, usar a fórmula do potencial no eixo do anel e aplicar W_{\text{ext}}=q\Delta V resolve a questão direto na prova. Você consegue!