Um carrinho de montanha-russa desloca-se para baixo em uma trajetória helicoidal com uma velocidade escalar constante de tal maneira que as equações paramétricas que definem sua posição são
, em que
e
são constantes. Determine as intensidades de sua velocidade e aceleração.
Passo 1
O enunciado dá a posição do carrinho em função do tempo por meio de coordenadas paramétricas:
onde
,
e
são constantes (presumivelmente
é o raio da hélice,
é a velocidade vertical constante, e
é a frequência angular).
O que se pede: determinar as intensidades (isto é, os módulos) da velocidade e da aceleração do carrinho — ou seja, e
.
O que se pede: determinar as intensidades (isto é, os módulos) da velocidade e da aceleração do carrinho — ou seja,
Passo 2
Lembrete rápido (fórmula e regras que vamos usar). Para uma curva parametrizada por
:
- a velocidade vetorial é
; - a aceleração vetorial é
; - o módulo de um vetor
é .
Também usaremos a regra da cadeia para derivadas: a derivada de
é
e a de
é
. E a identidade trigonométrica fundamental
.
Passo 3
Calcular as derivadas primeiras (componentes da velocidade). Aplicando as regras:
Portanto a velocidade vetorial é
Passo 4
Calcular o módulo da velocidade. Usamos a definição de módulo:
Agora simplificamos os quadrados:
Fatorando
e usando
:
Observação: este resultado é independente de
, ou seja, a velocidade escalar é constante, como afirmado no enunciado.
Passo 5
Calcular as derivadas segundas (componentes da aceleração). Derivando as componentes de
:
Assim a aceleração vetorial é
Passo 6
Calcular o módulo da aceleração. Novamente usamos a definição:
Simplificando:
Usando
:
Se
(caso usual, raio positivo) isso é simplesmente
.
Passo 7
Comentário físico e verificação rápida: percebe-se que
, logo a aceleração é sempre ortogonal à velocidade — isso é coerente com velocidade escalar constante (não há componente tangencial da aceleração, só a normal/centrípeta associada ao movimento circular na projeção no plano
).