Um carrinho de montanha-russa desloca-se para baixo em uma trajetória helicoidal com uma velocidade escalar constante de tal maneira que as equações paramétricas que definem sua posição são x=c \operatorname{sen} k t, y=c \cos k t, z=h-b t, em que c, h e b são constantes. Determine as intensidades de sua velocidade e aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a posição do carrinho em função do tempo por meio de coordenadas paramétricas:
x(t)=c\sin(k t),\qquad y(t)=c\cos(k t),\qquad z(t)=h-b t,
onde c, h e b são constantes (presumivelmente c>0 é o raio da hélice, b é a velocidade vertical constante, e k é a frequência angular).
O que se pede: determinar as intensidades (isto é, os módulos) da velocidade e da aceleração do carrinho — ou seja, |\mathbf{v}(t)| e |\mathbf{a}(t)|.

Passo 2

Lembrete rápido (fórmula e regras que vamos usar). Para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)):
  • a velocidade vetorial é \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t));
  • a aceleração vetorial é \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t));
  • o módulo de um vetor \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) é |\mathbf{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Também usaremos a regra da cadeia para derivadas: a derivada de \sin(k t) é k\cos(k t) e a de \cos(k t) é -k\sin(k t). E a identidade trigonométrica fundamental \sin^2\theta+\cos^2\theta=1.

Passo 3

Calcular as derivadas primeiras (componentes da velocidade). Aplicando as regras:
x'(t)=\frac{d}{dt}\big(c\sin(k t)\big)=c\cdot k\cos(k t)=c k\cos(k t),
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(c\cos(k t)\big)=c\cdot(-k\sin(k t))=-c k\sin(k t),
z'(t)=\frac{d}{dt}\big(h-b t\big)=-b.
Portanto a velocidade vetorial é
\mathbf{v}(t)=\big(c k\cos(k t),\;-c k\sin(k t),\;-b\big).

Passo 4

Calcular o módulo da velocidade. Usamos a definição de módulo:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{(c k\cos(k t))^2+(-c k\sin(k t))^2+(-b)^2}.
Agora simplificamos os quadrados:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{c^2k^2\cos^2(k t)+c^2k^2\sin^2(k t)+b^2}.
Fatorando c^2k^2 e usando \cos^2+\sin^2=1:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{c^2k^2\big(\cos^2(k t)+\sin^2(k t)\big)+b^2}=\sqrt{c^2k^2+b^2}.
Observação: este resultado é independente de t, ou seja, a velocidade escalar é constante, como afirmado no enunciado.

Passo 5

Calcular as derivadas segundas (componentes da aceleração). Derivando as componentes de \mathbf{v}(t):
x''(t)=\frac{d}{dt}\big(c k\cos(k t)\big)=c k\cdot(-k\sin(k t))=-c k^2\sin(k t),
y''(t)=\frac{d}{dt}\big(-c k\sin(k t)\big)=-c k\cdot(k\cos(k t))=-c k^2\cos(k t),
z''(t)=\frac{d}{dt}(-b)=0.
Assim a aceleração vetorial é
\mathbf{a}(t)=\big(-c k^2\sin(k t),\;-c k^2\cos(k t),\;0\big).

Passo 6

Calcular o módulo da aceleração. Novamente usamos a definição:
|\mathbf{a}(t)|=\sqrt{(-c k^2\sin(k t))^2+(-c k^2\cos(k t))^2+0^2}.
Simplificando:
|\mathbf{a}(t)|=\sqrt{c^2k^4\sin^2(k t)+c^2k^4\cos^2(k t)}=\sqrt{c^2k^4\big(\sin^2(k t)+\cos^2(k t)\big)}.
Usando \sin^2+\cos^2=1:
|\mathbf{a}(t)|=\sqrt{c^2k^4}=|c|\,k^2.
Se c>0 (caso usual, raio positivo) isso é simplesmente c k^2.

Passo 7

Comentário físico e verificação rápida: percebe-se que \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=0, logo a aceleração é sempre ortogonal à velocidade — isso é coerente com velocidade escalar constante (não há componente tangencial da aceleração, só a normal/centrípeta associada ao movimento circular na projeção no plano xy).

Resposta

|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{c^{2}k^{2}+b^{2}}
|\mathbf{a}(t)|=|c|\,k^{2}

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