Em um certo estágio de uma investigação criminal, o inspetor está 60 \% convencido de que o suspeito é culpado. Suponha, entretanto, que uma nova prova mostra que o criminoso tem uma certa característica (como bigode ou cabelo castanho). Se 20 \% da população possui tal característica, quão certo o inspetor ficará de que o suspeito é culpado dado que o suspeito possui tal característica? (Resp: 0,882)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Informação inicial: o inspetor está \,60\%\, convencido de que o suspeito é culpado. Em notação de probabilidade: P(G)=0,6, onde G é o evento “suspeito é culpado”.
  • Informação adicional: uma nova prova mostra que o criminoso tem uma certa característica (por exemplo, bigode). A fração da população que possui essa característica é \,20\%\,. Ou seja, P(\text{característica} \mid \text{pessoa aleatória})=0,2íó.
  • Observação feita no caso: o suspeito possui essa característica (foi verificado que o suspeito tem a característica).
  • O que se pede: calcular a probabilidade de que o suspeito seja culpado, dado que o suspeito possui tal característica. Em notação: encontrar P(G \mid C), onde C é o evento “suspeito possui a característica”.

Passo 2

Apresentar a ferramenta que vamos usar (com explicação didática): o Teorema de Bayes.
O Teorema de Bayes é uma fórmula que atualiza uma crença (probabilidade a priori) quando aparece nova evidência. Escrevendo com eventos G (culpado) e C (tem a característica), a fórmula é:
P(G \mid C)=\frac{P(C \mid G)\,P(G)}{P\text{(C)}}.
Aqui:
  • P(G \mid C) é a probabilidade posterior: a probabilidade de G após observar C.
  • P(C \mid G) é a verossimilhança: a probabilidade de observar C se G for verdadeiro.
  • P(G) é a probabilidade a priori (antes da nova prova).
  • P\text{(C)} é a probabilidade da evidência C ocorrer (a “probabilidade total” de C).
Para calcular P\text{(C)} usamos a regra da probabilidade total com os dois casos mutuamente exclusivos G e \neg G (suspeito culpado ou não):
P\text{(C)}=P(C \mid G)\,P(G) + P(C \mid \neg G)\,P(\neg G).
Explicação intuitiva rápida: imaginemos 100 casos hipotéticos compatíveis com a informação a priori. Uma fração P(G) desses casos tem o suspeito culpado; entre esses casos, a fração P(C\mid G) mostrará a característica. O resto (casos com \neg G) contribui com P(C\mid\neg G). Bayes junta tudo para dar a probabilidade atualizada.

Passo 3

Identificar numericamente cada termo baseado no enunciado (e explicar por que cada escolha faz sentido).
  • Já temos P(G)=0,6 e, portanto, P(\neg G)=1-P(G)=0,4.
  • Interpretar P(C \mid \neg G): se o suspeito não é o criminoso, ele é uma pessoa “aleatória” da população; a probabilidade de que essa pessoa tenha a característica é a prevalência dada, 0,2. Logo P(C \mid \neg G)=0,2.
  • Interpretar P(C \mid G): a nova prova diz que “o criminoso tem a característica”. Se o suspeito for realmente o criminoso, então o suspeito obrigatoriamente terá essa característica. Assim P(C \mid G)=1. (Isto é crucial: a evidência é sobre o criminoso; sendo o suspeito o criminoso, a ocorrência da característica é certa.)
Agora podemos aplicar Bayes. Primeiro escrevemos P\text{(C)} usando a regra da probabilidade total:
P\text{(C)}=P(C \mid G)\,P(G) + P(C \mid \neg G)\,P(\neg G).
Substituindo os números:
P\text{(C)}=1\cdot 0,6 + 0,2\cdot 0,4.

Passo 4

Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas).
Calcular a segunda parcela:
0,2\cdot 0,4 = 0,08.
Somar com a primeira parcela:
P\text{(C)}=0,6 + 0,08 = 0,68.
Agora usar Bayes:
P(G \mid C)=\frac{P(C \mid G)\,P(G)}{P\text{(C)}}=\frac{1\cdot 0,6}{0,68}=\frac{0,6}{0,68}.
Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por 100):
\frac{0,6}{0,68}=\frac{60}{68}=\frac{15}{17}.
Converter para decimal (divisão longa ou calculando): \dfrac{15}{17}\approx 0,8823529\ldots
Arredondando conforme o enunciado esperado: 0,882.

Passo 5

Interpretação final e intuição.
  • A crença do inspetor sobe de 0,6 para cerca de 0,882 ao saber que o criminoso tem a característica e que o suspeito também a tem.
  • Intuição: a evidência C é muito mais provável quando o suspeito é realmente culpado ( P(C\mid G)=1) do que quando ele é inocente ( P(C\mid\neg G)=0,2). Por isso a probabilidade posterior aumenta bastante.
  • Uma analogia rápida: se só 1 em cada 5 pessoas tem bigode, mas o criminoso tem bigode e o suspeito também, isso dá peso forte a favor da culpa do suspeito, partindo de uma crença já razoavelmente alta ( 60\%).
Força aí — já está com uma resposta clara que você consegue justificar na prova usando o Teorema de Bayes.

Resposta

0,882

Exercícios relacionados