Em um certo estágio de uma investigação criminal, o inspetor está
convencido de que o suspeito é culpado. Suponha, entretanto, que uma nova prova mostra que o criminoso tem uma certa característica (como bigode ou cabelo castanho). Se
da população possui tal característica, quão certo o inspetor ficará de que o suspeito é culpado dado que o suspeito possui tal característica? (Resp: 0,882)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Informação inicial: o inspetor está
convencido de que o suspeito é culpado. Em notação de probabilidade: , onde é o evento “suspeito é culpado”. - Informação adicional: uma nova prova mostra que o criminoso tem uma certa característica (por exemplo, bigode). A fração da população que possui essa característica é
. Ou seja, . - Observação feita no caso: o suspeito possui essa característica (foi verificado que o suspeito tem a característica).
- O que se pede: calcular a probabilidade de que o suspeito seja culpado, dado que o suspeito possui tal característica. Em notação: encontrar
, onde é o evento “suspeito possui a característica”.
Passo 2
Apresentar a ferramenta que vamos usar (com explicação didática): o Teorema de Bayes.
O Teorema de Bayes é uma fórmula que atualiza uma crença (probabilidade a priori) quando aparece nova evidência. Escrevendo com eventos
(culpado) e
(tem a característica), a fórmula é:
Aqui:
-
é a probabilidade posterior: a probabilidade de após observar . -
é a verossimilhança: a probabilidade de observar se for verdadeiro. -
é a probabilidade a priori (antes da nova prova). -
é a probabilidade da evidência ocorrer (a “probabilidade total” de ).
Para calcular
usamos a regra da probabilidade total com os dois casos mutuamente exclusivos
e
(suspeito culpado ou não):
Explicação intuitiva rápida: imaginemos 100 casos hipotéticos compatíveis com a informação a priori. Uma fração
desses casos tem o suspeito culpado; entre esses casos, a fração
mostrará a característica. O resto (casos com
) contribui com
. Bayes junta tudo para dar a probabilidade atualizada.
Passo 3
Identificar numericamente cada termo baseado no enunciado (e explicar por que cada escolha faz sentido).
- Já temos
e, portanto, . - Interpretar
: se o suspeito não é o criminoso, ele é uma pessoa “aleatória” da população; a probabilidade de que essa pessoa tenha a característica é a prevalência dada, . Logo . - Interpretar
: a nova prova diz que “o criminoso tem a característica”. Se o suspeito for realmente o criminoso, então o suspeito obrigatoriamente terá essa característica. Assim . (Isto é crucial: a evidência é sobre o criminoso; sendo o suspeito o criminoso, a ocorrência da característica é certa.)
Agora podemos aplicar Bayes. Primeiro escrevemos
usando a regra da probabilidade total:
Substituindo os números:
Passo 4
Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas).
Calcular a segunda parcela:
Somar com a primeira parcela:
Agora usar Bayes:
Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por 100):
Converter para decimal (divisão longa ou calculando):
Arredondando conforme o enunciado esperado:
.
Passo 5
Interpretação final e intuição.
- A crença do inspetor sobe de
para cerca de ao saber que o criminoso tem a característica e que o suspeito também a tem. - Intuição: a evidência
é muito mais provável quando o suspeito é realmente culpado ( ) do que quando ele é inocente ( ). Por isso a probabilidade posterior aumenta bastante. - Uma analogia rápida: se só 1 em cada 5 pessoas tem bigode, mas o criminoso tem bigode e o suspeito também, isso dá peso forte a favor da culpa do suspeito, partindo de uma crença já razoavelmente alta (
).
Força aí — já está com uma resposta clara que você consegue justificar na prova usando o Teorema de Bayes.