Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos processadores que apresentam falhas após
anos de uso é dado pela seguinte função:
a) Em quanto tempo
dos processadores de um lote desse modelo de computadores terão apresentado falhas?
b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o modelo mais recente, embora o percentual de processadores que apresentam falhas também seja dado por uma função na forma
o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de uso equivale a
do valor observado, nesse mesmo período, para o modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a função
acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c . Se necessário, utilize
.
b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o modelo mais recente, embora o percentual de processadores que apresentam falhas também seja dado por uma função na forma
Passo 1
O enunciado fornece a função percentual de processadores com falhas após
anos:
As perguntas são:
a) Determinar o tempo tal que
dos processadores tenham apresentado falhas (ou seja, encontrar
com
).\n
b) Para o modelo novo a função é
a) Determinar o tempo
b) Para o modelo novo a função é
e foi dado que o percentual de defeituosos após
anos para o modelo novo é igual a
do valor obtido para o modelo antigo no mesmo tempo. Ou seja,
Determinar a constante
. Também foi fornecido, se necessário,
.
Passo 2
Vamos resolver a parte (a). Colocamos a condição pedida na fórmula de
:
Explico a técnica: queremos isolar a potência de base
. Primeiro dividimos ambos os lados por
para trabalhar com percentuais em forma decimal.
Passo 3
Dividindo por
e simplificando obtemos:
Agora isolamos a potência:
Observação didática:
é igual a
, e
porque
. Quando temos a mesma base
em ambos os lados, podemos igualar os expoentes.
Passo 4
Igualando expoentes (já que
) temos:
Agora isolamos
dividindo por
:
Interpretação: levará
anos para que
dos processadores do lote apresentem falhas.
Passo 5
Agora a parte (b). Primeiro calculamos
para o modelo antigo:
Sabemos que
, logo:
Portanto
. A condição dada diz que
, então
Passo 6
Escrevemos a equação para
usando a definição de
:
Dividimos por
:
Isolando a potência:
Observação didática sobre logaritmos: para resolver
usamos o logaritmo na base
, pois
é a função inversa da exponenciação de base
. Assim
Também podemos escrever
como
, então
Aqui usei a propriedade do logaritmo
.
Passo 7
Sabemos que
porque
. Usando o valor aproximado fornecido
, obtemos:
Logo
Interpretação:
é negativo (o que faz sentido, pois a potência tem que diminuir o termo dentro do parêntese para gerar um percentual entre
e
). O valor aproximado é
.
Resposta
a)
anos\n
b)
b)