Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos processadores que apresentam falhas após T anos de uso é dado pela seguinte função:
P(T)=100\left(1-2^{-0,1 T}\right)
a) Em quanto tempo 75 \% dos processadores de um lote desse modelo de computadores terão apresentado falhas?
b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o modelo mais recente, embora o percentual de processadores que apresentam falhas também seja dado por uma função na forma \mathrm{Q}(T)=100\left(1-2^{c T}\right) o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de uso equivale a 1 / 4 do valor observado, nesse mesmo período, para o modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a função \mathrm{P}(\mathrm{T}) acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c . Se necessário, utilize \log _{2}(7) \approx 2,81.

Passo 1

O enunciado fornece a função percentual de processadores com falhas após T anos:
P(T)=100\left(1-2^{-0,1T}\right).
As perguntas são:
a) Determinar o tempo T tal que 75\% dos processadores tenham apresentado falhas (ou seja, encontrar T com P(T)=75).\n
b) Para o modelo novo a função é
Q(T)=100\left(1-2^{cT}\right),
e foi dado que o percentual de defeituosos após 10 anos para o modelo novo é igual a 1/4 do valor obtido para o modelo antigo no mesmo tempo. Ou seja,
Q(10)=\tfrac{1}{4}P(10).
Determinar a constante c. Também foi fornecido, se necessário, \log_{2}(7)\approx 2,81.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a). Colocamos a condição pedida na fórmula de P(T):
P(T)=75 \quad\Longrightarrow\quad 100\left(1-2^{-0,1T}\right)=75.
Explico a técnica: queremos isolar a potência de base 2. Primeiro dividimos ambos os lados por 100 para trabalhar com percentuais em forma decimal.

Passo 3

Dividindo por 100 e simplificando obtemos:
1-2^{-0,1T}=0,75.
Agora isolamos a potência:
2^{-0,1T}=1-0,75=0,25.
Observação didática: 0,25 é igual a \tfrac{1}{4}, e \tfrac{1}{4}=2^{-2} porque 2^{-2}=\tfrac{1}{2^2}=\tfrac{1}{4}. Quando temos a mesma base 2 em ambos os lados, podemos igualar os expoentes.

Passo 4

Igualando expoentes (já que 2^{-0,1T}=2^{-2}) temos:
-0,1T=-2.
Agora isolamos T dividindo por -0,1:
T=\frac{-2}{-0,1}=20.
Interpretação: levará 20 anos para que 75\% dos processadores do lote apresentem falhas.

Passo 5

Agora a parte (b). Primeiro calculamos P(10) para o modelo antigo:
P(10)=100\left(1-2^{-0,1\cdot 10}\right)=100\left(1-2^{-1}\right).
Sabemos que 2^{-1}=\tfrac{1}{2}, logo:
P(10)=100\left(1-\tfrac{1}{2}\right)=100\cdot \tfrac{1}{2}=50.
Portanto P(10)=50\%. A condição dada diz que Q(10)=\tfrac{1}{4}P(10), então
Q(10)=\tfrac{1}{4}\cdot 50=12,5.

Passo 6

Escrevemos a equação para Q(10) usando a definição de Q:
100\left(1-2^{10c}\right)=12,5.
Dividimos por 100:
1-2^{10c}=0,125.
Isolando a potência:
2^{10c}=1-0,125=0,875.
Observação didática sobre logaritmos: para resolver 2^{10c}=0,875 usamos o logaritmo na base 2, pois \log_{2} é a função inversa da exponenciação de base 2. Assim
10c=\log_{2}(0,875).
Também podemos escrever 0,875 como \tfrac{7}{8}, então
10c=\log_{2}\!\left(\tfrac{7}{8}\right)=\log_{2}(7)-\log_{2}(8).
Aqui usei a propriedade do logaritmo \log_{2}\!\left(\tfrac{a}{b}\right)=\log_{2}(a)-\log_{2}(b).

Passo 7

Sabemos que \log_{2}(8)=3 porque 8=2^3. Usando o valor aproximado fornecido \log_{2}(7)\approx 2,81, obtemos:
10c\approx 2,81-3=-0,19.
Logo
c\approx \frac{-0,19}{10}=-0,019.
Interpretação: c é negativo (o que faz sentido, pois a potência tem que diminuir o termo dentro do parêntese para gerar um percentual entre 0\% e 100\%). O valor aproximado é c\approx -0,019.

Resposta

a) T=20 anos\n
b) c\approx -0,019

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