Um ciclo Otto com uma razão de compressão igual a 10 inicia a compressão a 100 \mathrm{kPa} \mathrm{e} 27^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura máxima do ciclo é de 1027^{\circ} \mathrm{C}. Determine a eficiência térmica do ciclo sob as seguintes hipóteses: ( \mathbf{3 , 0} Pontos).
a) Considerando calores específicos constantes;
b) Considerando calores específicos variados;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Razão de compressão: \,r=10\,.
    • Pressão inicial onde começa a compressão: \,p_1=100\\ \mathrm{kPa}\, (não iremos precisar do valor de p_1 numericamente, só para referência).
    • Temperatura inicial: \,27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}. Ou seja, \,T_1=300\\ \mathrm{K}\,.
    • Temperatura máxima do ciclo (após adição de calor a volume constante): \,1027^\circ\mathrm{C}=1300\\ \mathrm{K}. Ou seja, \,T_3=1300\\ \mathrm{K}\,.
  • O enunciado pede:
    • (a) Determinar a eficiência térmica do ciclo Otto supondo calores específicos constantes.
    • (b) Determinar a eficiência térmica do ciclo Otto considerando calores específicos dependentes da temperatura (variáveis).
Observação: usarei as propriedades do ar como gás ideal com constante dos gases R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Também, quando necessário para o caso (b), vou usar valores aproximados de c_p do ar retirados de tabelas usuais (valores apresentados nas etapas). Não vou pedir nenhum dado adicional.

Passo 2

Breve explicação do ciclo Otto e da fórmula usada no caso de calores específicos constantes (aula rápida e útil para prova).
  • O ciclo Otto ideal tem quatro processos:
    1. Compressão adiabática e reversível 1\to2 (isentrópica).
    2. Adição de calor a volume constante 2\to3 (aumenta T de T_2 para T_3).
    3. Expansão adiabática e reversível 3\to4 (isentrópica).
    4. Rejeição de calor a volume constante 4\to1.
  • Com calores específicos constantes (modelo simples para ar), a eficiência térmica do ciclo Otto pode ser expressa em função apenas da razão de compressão r e da razão de calores específicos \gamma:
\eta = 1 - r^{\,1-\gamma}.
Aqui:
  • \eta é a eficiência térmica (fração do calor convertido em trabalho),
  • r é a razão de compressão r=\dfrac{v_1}{v_2},
  • \gamma=\dfrac{c_p}{c_v} (razão entre calores específicos a pressão e a volume constantes). Para o ar (modelo diatômico) em aproximação de calores constantes costuma-se usar \gamma=1{,}4.
Explicação do porquê dessa fórmula (resumida e didática):
  • Em compressão/expansão isentrópicas com calores constantes vale T_2/T_1=r^{\gamma-1} e T_3/T_4=r^{\gamma-1}.
  • O calor adicionado é q_{in}=c_v\,(T_3-T_2) e o rejeitado é q_{out}=c_v\,(T_4-T_1).
  • A eficiência é \eta=1-\dfrac{q_{out}}{q_{in}}=1-\dfrac{T_4-T_1}{T_3-T_2}. Usando as relações isentrópicas acima e eliminando temperaturas chega-se a \eta=1-r^{1-\gamma}. (Na prova, decorar essa fórmula é muito prático.)

Passo 3

Cálculo do item (a) — calores específicos constantes.
  • Usando \gamma=1{,}4 e r=10:
\eta = 1 - r^{\,1-\gamma} = 1 - 10^{\,1-1{,}4} = 1 - 10^{-0{,}4}.
  • Calcular 10^{-0{,}4}. Podemos lembrar que 10^{0{,}4}\approx 2{,}5119, então
10^{-0{,}4} \approx 0{,}39811.
  • Portanto
\eta \approx 1 - 0{,}39811 = 0{,}60189.
Conclusão parcial:
\eta_{\text{const. }c_p}\approx 0{,}6019 \quad\text{(ou seja, }60{,}19\%\text{).}

Passo 4

Preparação para o item (b) — estratégia quando c_p e c_v variam com a temperatura.
  • Com calores específicos dependentes de T não vale a fórmula simples com \gamma constante. Temos que usar energia e entropia de gases ideais:
    • Calor adicionado (processo a volume constante 2\to3):
    q_{in} = \int_{T_2}^{T_3} c_v(T)\,dT.
    • Calor rejeitado (processo a volume constante 4\to1):
    q_{out} = \int_{T_4}^{T_1} c_v(T)\,dT.
    • Eficiência:
    \eta = 1 - \frac{q_{out}}{q_{in}} = 1 - \frac{\displaystyle\int_{T_4}^{T_1} c_v(T)\,dT}{\displaystyle\int_{T_2}^{T_3} c_v(T)\,dT}.
  • Para obter T_2 e T_4 (resultantes das compressão e expansão isentrópica) usamos a condição de isentropia para gás ideal:
0 = s_2-s_1 = \int_{T_1}^{T_2} \frac{c_p(T)}{T}\,dT - R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Mas como \dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{T_2}{T_1}\cdot \dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{T_2}{T_1}\,r, essa equação fica
\int_{T_1}^{T_2} \frac{c_p(T)}{T}\,dT = R\bigl(\ln(T_2/T_1)+\ln r\bigr).
  • Para simplificar e obter uma fórmula numérica prática, aproximamos as integrais por médias: \displaystyle\int_{T_a}^{T_b} c_v(T)\,dT \approx \bar{c}_v\,(T_b-T_a) e \displaystyle\int_{T_a}^{T_b}\dfrac{c_p(T)}{T}dT \approx \bar{c}_p\ln(T_b/T_a), onde \bar{c}_p,\bar{c}_v são valores médios adequados no intervalo.
  • Com essa aproximação (comum em exercícios de prova), para a compressão 1\to2 obtemos:
\bar{c}_{v,1-2}\,\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = R\ln r \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = \frac{R\ln r}{\bar{c}_{v,1-2}}.
Isto implica
T_2 = T_1\,r^{\,R/\bar{c}_{v,1-2}}.
  • Analogamente, para a expansão isentrópica 3\to4 (com média de c_v no intervalo T_4 T_3):
T_4 = T_3\,r^{-\,R/\bar{c}_{v,3-4}}.
  • Técnica prática: fazemos iterações: chutamos T_2 e calculamos \bar{c}_v no intervalo T_1- T_2, atualizamos T_2 pela fórmula acima; iteramos até convergir. Mesma coisa para T_4, começando com o chute obtido usando \gamma=1{,}4 (solução inicial rápida).

Passo 5

Escolha de valores aproximados de c_p do ar (valores tomados de tabelas usuais de propriedades do ar; uso aqui números arredondados, suficientes para prova). Lembre-se que c_v(T)=c_p(T)-R.
Valores aproximados usados (unidades \mathrm{J/(kg\cdot K)}):
  • \,c_p(300\\ \mathrm{K}) \approx 1005.
  • \,c_p(580\\ \mathrm{K}) \approx 1035.
  • \,c_p(735\\ \mathrm{K}) \approx 1046.
  • \,c_p(1300\\ \mathrm{K}) \approx 1180.
Desses:
  • c_v(300)\approx 1005-287=718\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • c_v(580)\approx 1035-287=748.
  • c_v(735)\approx 1046-287=759.
  • c_v(1300)\approx 1180-287=893.
Nota: esses números são aproximações de tabela — em prova, se houver tabela use os valores nela; se o problema pedir “variando c_p”, normalmente espera-se esse tipo de aproximação por valores médios.

Passo 6

Iteração para encontrar T_2 (compressão isentrópica 1\to2).
  • Chute inicial usando \gamma=1{,}4:
T_{2,0} = T_1\,r^{\gamma-1}=300\cdot 10^{0{,}4}\approx 300\cdot 2{,}5119\approx 753{,}6\\ \mathrm{K}.
  • Iteração 1:
    • Média de c_v entre 300 e 753{,}6. Usando c_v(300)=718 e aproximando c_v(754)\approx 759 (valor em 735 K próximo), tomamos \bar{c}_{v,1-2}^{(1)} \approx \frac{718+759}{2} = 738{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Atualizar T_2: T_2^{(1)} = 300\cdot r^{\,R/\bar{c}_v^{(1)}} = 300\cdot 10^{\,287/738{,}5}.Calculemos o expoente: 287/738{,}5\approx 0{,}3886. Assim 10^{0{,}3886}\approx 2{,}442. T_2^{(1)} \approx 300\cdot 2{,}442 \approx 732{,}6\\ \mathrm{K}.
  • Iteração 2:
    • Agora média entre c_v(300)=718 e c_v(732{,}6)\approx 759 \bar{c}_v^{(2)}\approx 738{,}5 (praticamente igual).
    • Repetindo a fórmula dá T_2^{(2)}\approx 735{,}6\\ \mathrm{K} (pequena correção). Convergência rápida; fixamos
T_2 \approx 735\\ \mathrm{K}.
Comentário amistoso: fiz umas iterações rápidas, como se faz numa prova sem muita máquina — a convergência é boa e chega-se a T_2 em poucas etapas.

Passo 7

Iteração para encontrar T_4 (expansão isentrópica 3\to4).
  • Chute inicial usando \gamma=1{,}4:
T_{4,0} = T_3\,r^{-(\gamma-1)} = 1300\cdot 10^{-0{,}4} \approx 1300\cdot 0{,}39811 \approx 517{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Iteração 1:
    • Média de c_v entre T_4\approx 517{,}5 e T_3=1300. Usando c_v(517{,}5)\approx c_v(518)\approx 731 (pois c_p(518)\approx 1018\Rightarrow c_v\approx731) e c_v(1300)=893, \bar{c}_{v,3-4}^{(1)} \approx \frac{731+893}{2} = 812\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Atualizar T_4: T_4^{(1)} = 1300\cdot 10^{-\,287/812}.Calculemos o expoente: 287/812\approx 0{,}3534. Então 10^{-0{,}3534}\approx 0{,}444. T_4^{(1)} \approx 1300\cdot 0{,}444 \approx 577{,}2\\ \mathrm{K}.
  • Iteração 2:
    • Nova média entre c_v(577{,}2)\approx 745 (pois c_p(577)\approx 1032\Rightarrow c_v\approx745) e c_v(1300)=893: \bar{c}_{v,3-4}^{(2)} \approx \frac{745+893}{2}=819.
    • Atualizar: T_4^{(2)} = 1300\cdot 10^{-\,287/819}.Com 287/819\approx 0{,}3504 temos 10^{-0{,}3504}\approx 0{,}4468 e T_4^{(2)} \approx 1300\cdot 0{,}4468 \approx 581{,}0\\ \mathrm{K}.
  • Iteração 3:
    • Repetindo rapidamente a média (entre \sim 581 e 1300) dá um valor próximo; converge para
T_4 \approx 580\\ \mathrm{K}.
Resumo prático: com c_p variando, obtemos aproximadamente T_2\approx 735\\ \mathrm{K} e T_4\approx 580\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Cálculo dos calores q_{in} e q_{out} aproximando as integrais por médias de c_v nos intervalos relevantes.
  • Para q_{in}=\displaystyle\int_{T_2}^{T_3} c_v(T)\,dT aproximamos por \bar{c}_{v,2-3}\,(T_3-T_2).
    • Usamos c_v(735)\approx 759 e c_v(1300)\approx 893, então \bar{c}_{v,2-3}\approx \frac{759+893}{2}=826\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Portanto q_{in}\approx 826\cdot(1300-735)=826\cdot 565 = 466\,690\\ \mathrm{J/kg}.
  • Para q_{out}=\displaystyle\int_{T_4}^{T_1} c_v(T)\,dT aproximamos por \bar{c}_{v,4-1}\,(T_4-T_1).
    • Usamos c_v(580)\approx 748 e c_v(300)=718, então \bar{c}_{v,4-1}\approx \frac{748+718}{2}=733\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Portanto q_{out}\approx 733\cdot(580-300)=733\cdot 280 = 205\,240\\ \mathrm{J/kg}.
  • Eficiência com c_p variando:
\eta = 1 - \frac{q_{out}}{q_{in}} \approx 1 - \frac{205\,240}{466\,690}.
Calculemos a razão:
\frac{205\,240}{466\,690}\approx 0{,}4397.
Logo
\eta \approx 1 - 0{,}4397 = 0{,}5603.

Passo 9

Interpretação curta e motivadora.
  • Resultado do item (a) com \gamma=1{,}4: \eta\approx 0{,}6019 (ou 60{,}19\%).
  • Resultado do item (b) com c_p(T) variando (cálculo aproximado por médias de c_v e iterações): \eta\approx 0{,}5603 (ou 56{,}03\%).
Comentário final amigo: a eficiência diminui quando usamos calores específicos que aumentam com a temperatura (modelo mais realista), porque o aumento de c_v em temperaturas elevadas faz com que uma fração maior do calor de entrada seja “precisamente” necessária para elevar a energia interna, reduzindo o trabalho líquido relativo. Na prova, siga o mesmo roteiro: encontrar T_2 e T_4 por isentropia (iteração com médias de c_v) e calcular as integrais aproximadas de c_v.

Resposta

(a) \eta \approx 0{,}6019 (ou 60{,}19\%).
(b) \eta \approx 0{,}5603 (ou 56{,}03\%).

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