Um ciclo Otto com uma razão de compressão igual a 10 inicia a compressão a
, a temperatura máxima do ciclo é de
. Determine a eficiência térmica do ciclo sob as seguintes hipóteses: (
Pontos).
a) Considerando calores específicos constantes;
b) Considerando calores específicos variados;
a) Considerando calores específicos constantes;
b) Considerando calores específicos variados;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Razão de compressão:
. - Pressão inicial onde começa a compressão:
(não iremos precisar do valor de numericamente, só para referência). - Temperatura inicial:
. Ou seja, . - Temperatura máxima do ciclo (após adição de calor a volume constante):
. Ou seja, .
- Razão de compressão:
-
O enunciado pede:
- (a) Determinar a eficiência térmica do ciclo Otto supondo calores específicos constantes.
- (b) Determinar a eficiência térmica do ciclo Otto considerando calores específicos dependentes da temperatura (variáveis).
Observação: usarei as propriedades do ar como gás ideal com constante dos gases
. Também, quando necessário para o caso (b), vou usar valores aproximados de
do ar retirados de tabelas usuais (valores apresentados nas etapas). Não vou pedir nenhum dado adicional.
Passo 2
Breve explicação do ciclo Otto e da fórmula usada no caso de calores específicos constantes (aula rápida e útil para prova).
-
O ciclo Otto ideal tem quatro processos:
- Compressão adiabática e reversível
(isentrópica). - Adição de calor a volume constante
(aumenta de para ). - Expansão adiabática e reversível
(isentrópica). - Rejeição de calor a volume constante
.
- Compressão adiabática e reversível
-
Com calores específicos constantes (modelo simples para ar), a eficiência térmica do ciclo Otto pode ser expressa em função apenas da razão de compressão
e da razão de calores específicos :
Aqui:
-
é a eficiência térmica (fração do calor convertido em trabalho), -
é a razão de compressão , -
(razão entre calores específicos a pressão e a volume constantes). Para o ar (modelo diatômico) em aproximação de calores constantes costuma-se usar .
Explicação do porquê dessa fórmula (resumida e didática):
- Em compressão/expansão isentrópicas com calores constantes vale
e . - O calor adicionado é
e o rejeitado é . - A eficiência é
. Usando as relações isentrópicas acima e eliminando temperaturas chega-se a . (Na prova, decorar essa fórmula é muito prático.)
Passo 3
Cálculo do item (a) — calores específicos constantes.
- Usando
e :
- Calcular
. Podemos lembrar que , então
- Portanto
Conclusão parcial:
Passo 4
Preparação para o item (b) — estratégia quando
e
variam com a temperatura.
- Com calores específicos dependentes de
não vale a fórmula simples com constante. Temos que usar energia e entropia de gases ideais: - Calor adicionado (processo a volume constante
):
- Calor rejeitado (processo a volume constante
):
- Eficiência:
- Calor adicionado (processo a volume constante
- Para obter
e (resultantes das compressão e expansão isentrópica) usamos a condição de isentropia para gás ideal:
Mas como
, essa equação fica
- Para simplificar e obter uma fórmula numérica prática, aproximamos as integrais por médias:
e , onde são valores médios adequados no intervalo. - Com essa aproximação (comum em exercícios de prova), para a compressão
obtemos:
Isto implica
- Analogamente, para a expansão isentrópica
(com média de no intervalo – ):
- Técnica prática: fazemos iterações: chutamos
e calculamos no intervalo - , atualizamos pela fórmula acima; iteramos até convergir. Mesma coisa para , começando com o chute obtido usando (solução inicial rápida).
Passo 5
Escolha de valores aproximados de
do ar (valores tomados de tabelas usuais de propriedades do ar; uso aqui números arredondados, suficientes para prova). Lembre-se que
.
Valores aproximados usados (unidades
):
-
. -
. -
. -
.
Desses:
-
. -
. -
. -
.
Nota: esses números são aproximações de tabela — em prova, se houver tabela use os valores nela; se o problema pedir “variando
”, normalmente espera-se esse tipo de aproximação por valores médios.
Passo 6
Iteração para encontrar
(compressão isentrópica
).
- Chute inicial usando
:
-
Iteração 1:
- Média de
entre e . Usando e aproximando (valor em K próximo), tomamos - Atualizar
: Calculemos o expoente: . Assim .
- Média de
-
Iteração 2:
- Agora média entre
e → (praticamente igual). - Repetindo a fórmula dá
(pequena correção). Convergência rápida; fixamos
- Agora média entre
Comentário amistoso: fiz umas iterações rápidas, como se faz numa prova sem muita máquina — a convergência é boa e chega-se a
em poucas etapas.
Passo 7
Iteração para encontrar
(expansão isentrópica
).
- Chute inicial usando
:
-
Iteração 1:
- Média de
entre e . Usando (pois ) e , - Atualizar
: Calculemos o expoente: . Então .
- Média de
-
Iteração 2:
- Nova média entre
(pois ) e : - Atualizar:
Com temos e
- Nova média entre
-
Iteração 3:
- Repetindo rapidamente a média (entre
e ) dá um valor próximo; converge para
- Repetindo rapidamente a média (entre
Resumo prático: com
variando, obtemos aproximadamente
e
.
Passo 8
Cálculo dos calores
e
aproximando as integrais por médias de
nos intervalos relevantes.
-
Para
aproximamos por . - Usamos
e , então - Portanto
- Usamos
-
Para
aproximamos por . - Usamos
e , então - Portanto
- Usamos
-
Eficiência com
variando:
Calculemos a razão:
Logo
Passo 9
Interpretação curta e motivadora.
- Resultado do item (a) com
: (ou ). - Resultado do item (b) com
variando (cálculo aproximado por médias de e iterações): (ou ).
Comentário final amigo: a eficiência diminui quando usamos calores específicos que aumentam com a temperatura (modelo mais realista), porque o aumento de
em temperaturas elevadas faz com que uma fração maior do calor de entrada seja “precisamente” necessária para elevar a energia interna, reduzindo o trabalho líquido relativo. Na prova, siga o mesmo roteiro: encontrar
e
por isentropia (iteração com médias de
) e calcular as integrais aproximadas de
.
Resposta
(a)
(ou
).
(b) (ou
).
(b)