Classifique o subconjunto abaixo como Linearmente Independente ou Linearmente Dependente:
A=\{(1,-1,-2),(2,1,1),(-1,0,3)\}

Passo 1

O enunciado pede para classificar o subconjunto A como linearmente independente ou linearmente dependente. O conjunto fornecido é
A=\{(1,-1,-2),(2,1,1),(-1,0,3)\}.
Informações relevantes que temos: os três elementos são vetores em \mathbb{R}^3 dados explicitamente pelas coordenadas listadas acima. A pergunta é única: determinar se esses vetores são linearmente independentes ou dependentes.

Passo 2

O que significa “linearmente independente” versus “linearmente dependente”? Vou explicar bem mastigado.
  • Dizemos que vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, não todos nulos, tais que
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0.
Isto quer dizer que ao menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Dizemos que são linearmente independentes se a única solução da equação acima for a trivial
\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.
Na prática, para três vetores em \mathbb{R}^3 há dois métodos simples:
  1. Montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes; se o determinante for zero, são dependentes.
  2. Fazer eliminação de Gauss (redução por linhas) e verificar o posto da matriz.
Vou usar o método do determinante porque é direto e rápido para matrizes 3\times3. Também explico por que isso vale: o determinante de uma matriz cujas colunas são vetores é zero exatamente quando as colunas são linearmente dependentes (porque determinante mede “volume” do paralelepípedo gerado pelas colunas; volume zero significa colunas coplanares/colineares).

Passo 3

Formo a matriz M colocando os vetores como colunas (uma escolha padrão):
M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Explicando: a primeira coluna é (1,-1,-2)^\top, a segunda é (2,1,1)^\top e a terceira é (-1,0,3)^\top. Agora calcularemos \det(M). Se \det(M)\neq 0 então A é linearmente independente; se \det(M)=0 então é dependente.]

Passo 4

Vou calcular o determinante de M usando a regra de Sarrus (fácil e segura para 3\times3). A regra diz:
\det(M)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr),
onde a_{ij} são os elementos de M. Para nossa matriz:
a_{11}=1,\; a_{12}=2,\; a_{13}=-1,
a_{21}=-1,\; a_{22}=1,\; a_{23}=0,
a_{31}=-2,\; a_{32}=1,\; a_{33}=3.

Passo 5

Agora substituo na fórmula passo a passo.
Calculo cada produto das diagonais no somatório positivo:
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot 1\cdot 3=3,
a_{12}a_{23}a_{31}=2\cdot 0\cdot (-2)=0,
a_{13}a_{21}a_{32}=(-1)\cdot(-1)\cdot 1=1.
Somando esses três termos positivos:
\text{soma\_positiva}=3+0+1=4.
Agora os produtos das diagonais no somatório negativo:
a_{13}a_{22}a_{31}=(-1)\cdot 1\cdot(-2)=2,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot 0\cdot 1=0,
a_{12}a_{21}a_{33}=2\cdot(-1)\cdot 3=-6.
Somando esses três termos negativos:
\text{soma\_negativa}=2+0+(-6)=-4.
Finalmente:
\det(M)=\text{soma\_positiva}-\text{soma\_negativa}=4-(-4)=8.

Passo 6

Interpretação do resultado: \det(M)=8\neq 0. Pelo teorema que conecte determinante e independência linear, isso significa que as colunas de M (ou seja, os vetores do conjunto A) são linearmente independentes. Em palavras: a combinação linear \alpha_1(1,-1,-2)+\alpha_2(2,1,1)+\alpha_3(-1,0,3)=0 só tem a solução trivial \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.
Se preferir visualizar: o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores é |\det(M)|=8, diferente de zero, logo não estão todos no mesmo plano nem em uma mesma reta.

Resposta

Linearmente Independente

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