Classifique o subconjunto abaixo como Linearmente Independente ou Linearmente Dependente:
A=\{(1,-1,-2),(2,1,1),(-1,0,3)\}
Passo 1
O enunciado pede para classificar o subconjunto A como linearmente independente ou linearmente dependente. O conjunto fornecido é
A=\{(1,-1,-2),(2,1,1),(-1,0,3)\}.
Informações relevantes que temos: os três elementos são vetores em \mathbb{R}^3 dados explicitamente pelas coordenadas listadas acima. A pergunta é única: determinar se esses vetores são linearmente independentes ou dependentes.
Passo 2
O que significa “linearmente independente” versus “linearmente dependente”? Vou explicar bem mastigado.
Dizemos que vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, não todos nulos, tais que
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0.
Isto quer dizer que ao menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Dizemos que são linearmente independentes se a única solução da equação acima for a trivial
\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.
Na prática, para três vetores em \mathbb{R}^3 há dois métodos simples:
Montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes; se o determinante for zero, são dependentes.
Fazer eliminação de Gauss (redução por linhas) e verificar o posto da matriz.
Vou usar o método do determinante porque é direto e rápido para matrizes 3\times3. Também explico por que isso vale: o determinante de uma matriz cujas colunas são vetores é zero exatamente quando as colunas são linearmente dependentes (porque determinante mede “volume” do paralelepípedo gerado pelas colunas; volume zero significa colunas coplanares/colineares).
Passo 3
Formo a matriz M colocando os vetores como colunas (uma escolha padrão):
Explicando: a primeira coluna é (1,-1,-2)^\top, a segunda é (2,1,1)^\top e a terceira é (-1,0,3)^\top. Agora calcularemos \det(M). Se \det(M)\neq 0 então A é linearmente independente; se \det(M)=0 então é dependente.]
Passo 4
Vou calcular o determinante de M usando a regra de Sarrus (fácil e segura para 3\times3). A regra diz:
Interpretação do resultado: \det(M)=8\neq 0. Pelo teorema que conecte determinante e independência linear, isso significa que as colunas de M (ou seja, os vetores do conjunto A) são linearmente independentes. Em palavras: a combinação linear \alpha_1(1,-1,-2)+\alpha_2(2,1,1)+\alpha_3(-1,0,3)=0 só tem a solução trivial \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.
Se preferir visualizar: o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores é |\det(M)|=8, diferente de zero, logo não estão todos no mesmo plano nem em uma mesma reta.