Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Se os planos bissetores de dois diedros adjacentes formam um ângulo de 26^{\circ}, então a soma das medidas dos dois diedros vale 90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede que classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) a seguinte afirmação: “Se os planos bissetores de dois diedros adjacentes formam um ângulo de \,26^\circ, então a soma das medidas dos dois diedros vale \,90^\circ.”
Informações dadas:
  • O ângulo entre os planos bissetores é \,26^\circ.
  • A pergunta é se disso segue que a soma das medidas dos dois diedros é \,90^\circ.

Passo 2

Vamos definir com calma os objetos envolvidos (explicando o que cada símbolo vai representar).
  • Chame os três planos que se encontram ao redor de uma mesma reta l de P_1, P_2 e P_3. Esses planos determinam dois diedros adjacentes: o diedro entre P_1 e P_2 e o diedro entre P_2 e P_3.
  • Denote por \alpha a medida do diedro entre P_1 e P_2 e por \beta a medida do diedro entre P_2 e P_3. Ou seja, \alpha e \beta são os ângulos que queremos somar.
  • O plano bissetor de um diedro é o plano que contém a reta de interseção l e que divide o ângulo (o diedro) em duas partes iguais. Chamaremos os bissetores de B_{12} (entre P_1 e P_2) e B_{23} (entre P_2 e P_3). O enunciado diz que \angle(B_{12},B_{23}) = 26^\circ.

Passo 3

Como visualizar isso de modo prático (modelo que facilita o cálculo): faça uma secção com um plano perpendicular à reta l. Essa secção transforma cada um dos planos P_1,P_2,P_3 em retas que passam pelo mesmo ponto (o ponto de corte da reta l com a secção). Assim o problema se reduz a retas no plano, com ângulos entre elas.
  • Seja \theta_1,\theta_2,\theta_3 as direções angulares dessas retas (medidas num círculo em torno do ponto).
  • Então a medida do diedro entre P_i e P_j corresponde ao ângulo mínimo entre as direções \theta_i e \theta_j; assumindo orientação tal que as diferenças sejam pequenas, podemos escrever
\alpha = |\theta_1-\theta_2|,\qquad \beta = |\theta_2-\theta_3|.
  • O bissetor entre P_i e P_j terá direção angular
\phi_{ij} = \frac{\theta_i+\theta_j}{2}.
Logo as direções dos bissetores são \phi_{12} = \dfrac{\theta_1+\theta_2}{2} e \phi_{23} = \dfrac{\theta_2+\theta_3}{2}.

Passo 4

Calcule agora o ângulo entre os bissetores em termos de \alpha e \beta.
\angle(B_{12},B_{23}) = |\phi_{12}-\phi_{23}| = \left|\frac{\theta_1+\theta_2}{2}-\frac{\theta_2+\theta_3}{2}\right| = \frac{|\theta_1-\theta_3|}{2}.
Se as diferenças forem no mesmo sentido e \alpha+\beta \le 180^\circ, então |\theta_1-\theta_3| = \alpha+\beta. Assim, sob essa hipótese,
\angle(B_{12},B_{23}) = \frac{\alpha+\beta}{2}.

Passo 5

Aplicando ao enunciado: com \angle(B_{12},B_{23}) = 26^\circ e usando a relação anterior, obtemos
\frac{\alpha+\beta}{2} = 26^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha+\beta = 2\cdot 26^\circ = 52^\circ.
Portanto, neste caso a soma dos dois diedros é \,52^\circ, não \,90^\circ.

Passo 6

Verificação de outros casos (para cobrir todas as possibilidades): se \alpha+\beta>180^\circ então a diferença |\theta_1-\theta_3| na secção corresponde a 360^\circ-(\alpha+\beta) (porque a medida de ângulo entre direções no círculo toma o menor arco). Nesse caso
\angle(B_{12},B_{23}) = \frac{360^\circ-(\alpha+\beta)}{2}.
Mesmo aí, para que \alpha+\beta=90^\circ seria necessário que \angle(B_{12},B_{23}) fosse 135^\circ ou outro valor que não é o dado \,26^\circ. Em nenhuma das duas situações a soma \alpha+\beta sai igual a \,90^\circ quando a medida dos bissetores é \,26^\circ.

Passo 7

Conclusão: a relação correta é que a soma dos diedros é o dobro do ângulo entre os bissetores (na configuração usual), logo com bissetores formando \,26^\circ a soma é \,52^\circ. A afirmação de que a soma vale \,90^\circ é falsa.

Resposta

F

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