Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Se um plano é perpendicular à aresta de um diedro, então será perpendicular às faces do diedro.

Passo 1

O problema pede que classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) a afirmação:
“Se um plano é perpendicular à aresta de um diedro, então será perpendicular às faces do diedro.”
Informações dadas (explicitadas):
  • Há um diedro formado por duas faces que partilham uma aresta; chamo a aresta de l.
  • Existe um plano \pi que é perpendicular à aresta l.
  • A pergunta é: a partir disso, \pi é necessariamente perpendicular a cada uma das duas faces do diedro?

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicadas devagar):
  • Uma aresta do diedro é uma reta l que pertence simultaneamente às duas faces (cada face é um plano que contém l).
  • Um plano \pi é dito perpendicular a uma reta l (no ponto de interseção P) se l é perpendicular a toda reta que esteja em \pi e passe por P. Intuitivamente: a reta cruza o plano formando um ângulo de 90^\circ.
  • Dois planos \pi e \alpha são perpendiculares se eles se cruzam e o ângulo entre eles é 90^\circ. Uma forma prática de verificar é usar vetores normais: se n_{\pi} é um vetor normal a \pi e n_{\alpha} é normal a \alpha, então \pi\perp\alpha se, e somente se, n_{\pi}\cdot n_{\alpha}=0 (produto escalar zero).
    Vou usar essas definições para montar uma demonstração clara.

Passo 3

Montando a demonstração com vetores (passo a passo):
  • Seja u um vetor diretor da reta l (ou seja, u aponta na direção da aresta).
  • Se o plano \pi é perpendicular à reta l, então a reta l é paralela ao vetor normal de \pi. Em símbolos: n_{\pi} (normal de \pi) é paralelo a u. Justificativa: a normal de um plano é perpendicular a todo vetor contido no plano; se uma reta é perpendicular ao plano, ela aponta na direção da normal do plano.
  • Cada face do diedro é um plano que contém a reta l. Seja \alpha uma dessas faces; então o vetor normal n_{\alpha} é perpendicular a qualquer direção pertencente ao plano \alpha, em particular é perpendicular a u. Em símbolos: n_{\alpha}\cdot u=0.
  • Como n_{\pi} é paralelo a u, escrevemos n_{\pi} = \lambda u para algum \lambda\neq0. Então n_{\alpha}\cdot n_{\pi} = n_{\alpha}\cdot(\lambda u) = \lambda (n_{\alpha}\cdot u) = \lambda\cdot 0 = 0.Portanto n_{\alpha}\cdot n_{\pi}=0.
  • Se os vetores normais de dois planos têm produto escalar zero, os planos são perpendiculares. Logo \pi\perp\alpha.
  • O mesmo argumento vale para a outra face do diedro. Assim \pi é perpendicular a ambas as faces.

Passo 4

Uma explicação geométrica sem vetores (intuitiva), para fixar a ideia:
  • Pense na aresta l como um eixo vertical (por exemplo, o eixo z). As duas faces do diedro são dois planos que giram em volta desse eixo e, por isso, têm “direções horizontais” como normais.
  • Um plano perpendicular a l é como uma placa horizontal que corta o eixo; essa placa tem normal vertical. Qualquer plano que contenha o eixo tem normal horizontal, logo a placa (normal vertical) é perpendicular a esses planos (normais ortogonais). Portanto a placa é perpendicular a ambas as faces.
  • Isso mostra de maneira visual que não há exceção: qualquer plano que seja perpendicular à aresta será perpendicular às faces que contêm essa aresta.

Passo 5

Pequeno exemplo concreto para conferir:
  • Tome a reta l como o eixo z. Duas faces do diedro: \alpha:\;y=0 e \beta:\;y=\tan\theta\,x (ambas contêm o eixo z).
  • Considere \pi:\;z=0, que é perpendicular ao eixo z.
  • Normais: n_{\pi}=(0,0,1), n_{\alpha}=(0,1,0), n_{\beta}=(\,-\tan\theta,1,0). Tem-se n_{\pi}\cdot n_{\alpha}=0 e n_{\pi}\cdot n_{\beta}=0. Logo \pi é perpendicular a ambas as faces — exemplo que confirma a demonstração geral.

Passo 6

Conclusão e comentário final (ânimo):
  • A argumentação mostra que a propriedade vale sempre, sem exceção: um plano perpendicular à aresta de um diedro é perpendicular às duas faces que formam esse diedro.
  • Você pode usar tanto a ideia dos vetores normais (mais direta e formal) quanto a imagem geométrica (mais intuitiva) na prova. Vai dar certo — respira fundo e confia no raciocínio!

Resposta

V

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