Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Se um plano é perpendicular à aresta de um diedro, então será perpendicular às faces do diedro.
Se um plano é perpendicular à aresta de um diedro, então será perpendicular às faces do diedro.
Passo 1
O problema pede que classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) a afirmação:
“Se um plano é perpendicular à aresta de um diedro, então será perpendicular às faces do diedro.”
Informações dadas (explicitadas):
- Há um diedro formado por duas faces que partilham uma aresta; chamo a aresta de
. - Existe um plano
que é perpendicular à aresta . - A pergunta é: a partir disso,
é necessariamente perpendicular a cada uma das duas faces do diedro?
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas devagar):
- Uma aresta do diedro é uma reta
que pertence simultaneamente às duas faces (cada face é um plano que contém ). - Um plano
é dito perpendicular a uma reta (no ponto de interseção ) se é perpendicular a toda reta que esteja em e passe por . Intuitivamente: a reta cruza o plano formando um ângulo de . - Dois planos
e são perpendiculares se eles se cruzam e o ângulo entre eles é . Uma forma prática de verificar é usar vetores normais: se é um vetor normal a e é normal a , então se, e somente se, (produto escalar zero).
Vou usar essas definições para montar uma demonstração clara.
Passo 3
Montando a demonstração com vetores (passo a passo):
- Seja
um vetor diretor da reta (ou seja, aponta na direção da aresta). - Se o plano
é perpendicular à reta , então a reta é paralela ao vetor normal de . Em símbolos: (normal de ) é paralelo a . Justificativa: a normal de um plano é perpendicular a todo vetor contido no plano; se uma reta é perpendicular ao plano, ela aponta na direção da normal do plano. - Cada face do diedro é um plano que contém a reta
. Seja uma dessas faces; então o vetor normal é perpendicular a qualquer direção pertencente ao plano , em particular é perpendicular a . Em símbolos: . - Como
é paralelo a , escrevemos para algum . Então Portanto . - Se os vetores normais de dois planos têm produto escalar zero, os planos são perpendiculares. Logo
. - O mesmo argumento vale para a outra face do diedro. Assim
é perpendicular a ambas as faces.
Passo 4
Uma explicação geométrica sem vetores (intuitiva), para fixar a ideia:
- Pense na aresta
como um eixo vertical (por exemplo, o eixo ). As duas faces do diedro são dois planos que giram em volta desse eixo e, por isso, têm “direções horizontais” como normais. - Um plano perpendicular a
é como uma placa horizontal que corta o eixo; essa placa tem normal vertical. Qualquer plano que contenha o eixo tem normal horizontal, logo a placa (normal vertical) é perpendicular a esses planos (normais ortogonais). Portanto a placa é perpendicular a ambas as faces. - Isso mostra de maneira visual que não há exceção: qualquer plano que seja perpendicular à aresta será perpendicular às faces que contêm essa aresta.
Passo 5
Pequeno exemplo concreto para conferir:
- Tome a reta
como o eixo . Duas faces do diedro: e (ambas contêm o eixo ). - Considere
, que é perpendicular ao eixo . - Normais:
, , . Tem-se e . Logo é perpendicular a ambas as faces — exemplo que confirma a demonstração geral.
Passo 6
Conclusão e comentário final (ânimo):
- A argumentação mostra que a propriedade vale sempre, sem exceção: um plano perpendicular à aresta de um diedro é perpendicular às duas faces que formam esse diedro.
- Você pode usar tanto a ideia dos vetores normais (mais direta e formal) quanto a imagem geométrica (mais intuitiva) na prova. Vai dar certo — respira fundo e confia no raciocínio!
Resposta
V