Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obrigatoriamente perpendicular à outra face.

Passo 1

O que o enunciado pede: classificar se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F):
“Se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obrigatoriamente perpendicular à outra face.”
Informações dadas implicitamente:
  • Existe um diedro formado por duas faces planas que se encontram numa aresta comum.
  • Há um plano qualquer que é perpendicular a uma dessas faces.
  • Pergunta-se se disso segue que o mesmo plano é perpendicular também à outra face do diedro.

Passo 2

Conceitos e critérios que vou usar (explicação didática):
  • Um diedro (ou diedro) é formado por duas faces planas que se encontram ao longo de uma reta comum (aresta do diedro). Cada face é um plano.
  • Como representar um plano no espaço: um plano pode ser dado por uma equação linear \,a x + b y + c z + d = 0. O vetor (a,b,c) é chamado de vetor normal ao plano: ele é perpendicular a qualquer vetor que esteja dentro do plano.
  • Critério de perpendicularidade entre planos: dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais. Em símbolos, se os normais são \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, os planos são perpendiculares quando \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0.
  • Portanto, para verificar se um plano P é perpendicular a uma face F, é suficiente calcular o produto escalar entre os vetores normais \mathbf{n}_P e \mathbf{n}_F e ver se é zero.

Passo 3

Estratégia prática: demonstrar que a afirmação é falsa encontrando um contraexemplo concreto (basta um exemplo onde um plano é perpendicular a uma face do diedro mas não à outra).
Vou construir um diedro simples usando coordenadas no espaço:
  • Escolher a aresta comum como o eixo z (assim as faces serão planos que passam pelo eixo z).
  • Tomar a face F_1 como o plano \,y=0. A equação pode ser escrita \,0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z + 0=0, então o vetor normal é \mathbf{n}_{F_1}=(0,1,0).
  • Tomar a outra face F_2 como o plano \,x-y=0 (ou seja, \,y=x para cada z). A equação é \,1\cdot x -1\cdot y + 0\cdot z + 0=0, então o vetor normal é \mathbf{n}_{F_2}=(1,-1,0).
    Esses dois planos \,y=0 e \,x-y=0 se intersectam ao longo do eixo z, logo formam um diedro com aresta o eixo z.
Agora escolho um plano P que será perpendicular a F_1:
  • Tomo P como o plano \,x=0. A equação é \,1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + 0=0, então o vetor normal é \mathbf{n}_P=(1,0,0).

Passo 4

Calcular produtos escalares para verificar perpendicularidades (passo a passo):
  • Produto escalar entre \mathbf{n}_P e \mathbf{n}_{F_1}:
\mathbf{n}_P\cdot\mathbf{n}_{F_1}=(1,0,0)\cdot(0,1,0)=1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0=0.
Como o produto escalar é \,0, isso significa que o plano P é perpendicular à face F_1. (Boa: atende a hipótese.)
  • Produto escalar entre \mathbf{n}_P e \mathbf{n}_{F_2}:
\mathbf{n}_P\cdot\mathbf{n}_{F_2}=(1,0,0)\cdot(1,-1,0)=1\cdot1+0\cdot(-1)+0\cdot0=1\neq0.
Como o produto escalar é diferente de \,0, o plano P NÃO é perpendicular à face F_2.

Passo 5

Interpretação e conclusão final do raciocínio:
  • Encontramos um exemplo concreto (o diedro com faces \,y=0 e \,x-y=0) e um plano \,x=0 que é perpendicular a uma face ( F_1) mas não é perpendicular à outra ( F_2).
  • Portanto a afirmação “se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obrigatoriamente perpendicular à outra face” é falsa em geral. Só será verdadeira em casos especiais (por exemplo, se o plano tiver uma relação específica com a aresta ou com as direções das faces), mas não como afirmação universal.

Resposta

F

Exercícios relacionados