Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obrigatoriamente perpendicular à outra face.
Se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obrigatoriamente perpendicular à outra face.
Passo 1
O que o enunciado pede: classificar se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F):
“Se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obrigatoriamente perpendicular à outra face.”
Informações dadas implicitamente:
- Existe um diedro formado por duas faces planas que se encontram numa aresta comum.
- Há um plano qualquer que é perpendicular a uma dessas faces.
- Pergunta-se se disso segue que o mesmo plano é perpendicular também à outra face do diedro.
Passo 2
Conceitos e critérios que vou usar (explicação didática):
- Um diedro (ou diedro) é formado por duas faces planas que se encontram ao longo de uma reta comum (aresta do diedro). Cada face é um plano.
- Como representar um plano no espaço: um plano pode ser dado por uma equação linear
. O vetor é chamado de vetor normal ao plano: ele é perpendicular a qualquer vetor que esteja dentro do plano. - Critério de perpendicularidade entre planos: dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais. Em símbolos, se os normais são
e , os planos são perpendiculares quando . - Portanto, para verificar se um plano
é perpendicular a uma face , é suficiente calcular o produto escalar entre os vetores normais e e ver se é zero.
Passo 3
Estratégia prática: demonstrar que a afirmação é falsa encontrando um contraexemplo concreto (basta um exemplo onde um plano é perpendicular a uma face do diedro mas não à outra).
Vou construir um diedro simples usando coordenadas no espaço:
- Escolher a aresta comum como o eixo
(assim as faces serão planos que passam pelo eixo ). - Tomar a face
como o plano . A equação pode ser escrita , então o vetor normal é . - Tomar a outra face
como o plano (ou seja, para cada ). A equação é , então o vetor normal é .
Esses dois planose se intersectam ao longo do eixo , logo formam um diedro com aresta o eixo .
Agora escolho um plano
que será perpendicular a
:
- Tomo
como o plano . A equação é , então o vetor normal é .
Passo 4
Calcular produtos escalares para verificar perpendicularidades (passo a passo):
- Produto escalar entre
e :
Como o produto escalar é
, isso significa que o plano
é perpendicular à face
. (Boa: atende a hipótese.)
- Produto escalar entre
e :
Como o produto escalar é diferente de
, o plano
NÃO é perpendicular à face
.
Passo 5
Interpretação e conclusão final do raciocínio:
- Encontramos um exemplo concreto (o diedro com faces
e ) e um plano que é perpendicular a uma face ( ) mas não é perpendicular à outra ( ). - Portanto a afirmação “se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obrigatoriamente perpendicular à outra face” é falsa em geral. Só será verdadeira em casos especiais (por exemplo, se o plano tiver uma relação específica com a aresta ou com as direções das faces), mas não como afirmação universal.
Resposta
F