Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Os planos bissetores de dois diedros opostos pela aresta estão num mesmo plano.

Passo 1

O enunciado pede que se classifique como verdadeiro (V) ou falso (F) a afirmação: “Os planos bissetores de dois diedros opostos pela aresta estão num mesmo plano.”
Informações dadas (implícitas na frase):
  • Existe uma aresta comum (uma reta) que é a interseção de dois planos que formam dois diedros opostos.
  • Para cada diedro existe um (ou mais) plano bissetor que passa pela aresta e divide o diedro em duas partes com ângulos iguais.
    A pergunta é: os dois planos bissetores, um de cada diedro oposto, coincidem (ou seja, “estão num mesmo plano”)?

Passo 2

Entender o que é plano bissetor de um diedro. Vou explicar devagarinho: suponha que duas faces/planos P e Q se cruzam ao longo da reta l (essa reta é a aresta). Um diedro é formado por duas semi‑faces (meio‑planos) que compartilham l. O plano bissetor de um diedro é um plano que:
  • contém a reta l;
  • faz ângulos iguais com os dois planos que formam o diedro.
    Observação importante: para dois planos P e Q que se interceptam, existem exatamente dois planos que fazem ângulos iguais com P e Q e que contêm l: um bisseta o ângulo “menor” e outro bisseta o ângulo “complementar” (o outro lado). Assim, a cada par de planos P,Q correspondem dois planos bissetores distintos que passam por l.

Passo 3

Reduzir o problema a uma secção perpendicular para visualizar — técnica muito útil e usada em provas: escolha uma plano \Pi que seja perpendicular à aresta l e que intersecte P e Q. A interseção de P e \Pi é uma reta r_1 e a interseção de Q e \Pi é uma reta r_2 no plano \Pi. Essas duas retas r_1 e r_2 formam dois ângulos suplementares no plano \Pi: um ângulo \theta e o outro 180^\circ-\theta.
Os planos bissetores que contêm l cortam o plano \Pi em bissetrizes desses ângulos, ou seja, dão duas retas em \Pi: uma bissetriz do ângulo \theta e outra bissetriz do ângulo 180^\circ-\theta.

Passo 4

Analisar as bissetrizes no plano \Pi. Num plano, se duas retas formam um ângulo de abertura \theta, então as suas bissetrizes fazem ângulos de \theta/2 e \theta/2+90^\circ relativamente a uma referência comum. Em particular, as duas bissetrizes são perpendiculares entre si. Em símbolos: se as retas originais têm direções a 0 e \theta, as bissetrizes têm direções \theta/2 e \theta/2 + 90^\circ, cuja diferença é 90^\circ.
Voltando ao espaço: cada uma dessas bissetrizes em \Pi corresponde a um plano que contém l (porque construímos \Pi perpendicular a l). Assim, os dois planos bissetores correspondentes intersectam \Pi em duas retas perpendiculares, o que significa que os dois planos bissetores são planos diferentes e entre si formam ângulo reto (são perpendiculares ao medir o ângulo entre planos).

Passo 5

Concluir sobre a afirmação. Se dois planos distintos contêm a mesma reta l, eles não estão “num mesmo plano” no sentido de coincidir; cada plano é uma entidade distinta no espaço. Como mostramos que os dois planos bissetores são distintos (na verdade perpendiculares), eles não coincidem. Portanto a afirmação “estão num mesmo plano” é falsa.

Resposta

F

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