Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Os planos bissetores de dois diedros opostos pela aresta estão num mesmo plano.
Os planos bissetores de dois diedros opostos pela aresta estão num mesmo plano.
Passo 1
O enunciado pede que se classifique como verdadeiro (V) ou falso (F) a afirmação: “Os planos bissetores de dois diedros opostos pela aresta estão num mesmo plano.”
Informações dadas (implícitas na frase):
Informações dadas (implícitas na frase):
- Existe uma aresta comum (uma reta) que é a interseção de dois planos que formam dois diedros opostos.
- Para cada diedro existe um (ou mais) plano bissetor que passa pela aresta e divide o diedro em duas partes com ângulos iguais.
A pergunta é: os dois planos bissetores, um de cada diedro oposto, coincidem (ou seja, “estão num mesmo plano”)?
Passo 2
Entender o que é plano bissetor de um diedro. Vou explicar devagarinho: suponha que duas faces/planos
e
se cruzam ao longo da reta
(essa reta é a aresta). Um diedro é formado por duas semi‑faces (meio‑planos) que compartilham
. O plano bissetor de um diedro é um plano que:
- contém a reta
; - faz ângulos iguais com os dois planos que formam o diedro.
Observação importante: para dois planose que se interceptam, existem exatamente dois planos que fazem ângulos iguais com e e que contêm : um bisseta o ângulo “menor” e outro bisseta o ângulo “complementar” (o outro lado). Assim, a cada par de planos correspondem dois planos bissetores distintos que passam por .
Passo 3
Reduzir o problema a uma secção perpendicular para visualizar — técnica muito útil e usada em provas: escolha uma plano
que seja perpendicular à aresta
e que intersecte
e
. A interseção de
e
é uma reta
e a interseção de
e
é uma reta
no plano
. Essas duas retas
e
formam dois ângulos suplementares no plano
: um ângulo
e o outro
.
Os planos bissetores que contêm cortam o plano
em bissetrizes desses ângulos, ou seja, dão duas retas em
: uma bissetriz do ângulo
e outra bissetriz do ângulo
.
Os planos bissetores que contêm
Passo 4
Analisar as bissetrizes no plano
. Num plano, se duas retas formam um ângulo de abertura
, então as suas bissetrizes fazem ângulos de
e
relativamente a uma referência comum. Em particular, as duas bissetrizes são perpendiculares entre si. Em símbolos: se as retas originais têm direções a
e
, as bissetrizes têm direções
e
, cuja diferença é
.
Voltando ao espaço: cada uma dessas bissetrizes em corresponde a um plano que contém
(porque construímos
perpendicular a
). Assim, os dois planos bissetores correspondentes intersectam
em duas retas perpendiculares, o que significa que os dois planos bissetores são planos diferentes e entre si formam ângulo reto (são perpendiculares ao medir o ângulo entre planos).
Voltando ao espaço: cada uma dessas bissetrizes em
Passo 5
Concluir sobre a afirmação. Se dois planos distintos contêm a mesma reta
, eles não estão “num mesmo plano” no sentido de coincidir; cada plano é uma entidade distinta no espaço. Como mostramos que os dois planos bissetores são distintos (na verdade perpendiculares), eles não coincidem. Portanto a afirmação “estão num mesmo plano” é falsa.
Resposta
F