Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Num triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.

Passo 1

O enunciado pede que classifiquemos em verdadeiro (V) ou falso (F) a afirmação: “Num triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.”
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Existe um triedro trirretângulo (ou triédrico com três ângulos diedros retos), isto é, três planos que se encontram num ponto e são mutuamente perpendiculares entre si.
  • Precisamos decidir se, nesse triedro, cada aresta (interseção de duas faces) é perpendicular ao plano da face que não contém essa aresta (a “face oposta”).

Passo 2

Para entender bem o cenário, vamos construir um modelo concreto e simples que representa qualquer triedro trirretângulo: as três faces podem ser tomadas como os três planos coordenados do espaço. Ou seja, escolha os planos
P_x:\; x=0,\qquad P_y:\; y=0,\qquad P_z:\; z=0.
Esses três planos são mutuamente perpendiculares e se encontram na origem, portanto formam um triedro trirretângulo. As arestas (linhas de interseção das faces) são então os eixos:
e_x = P_y\cap P_z \;(\text{o eixo }x),\qquad e_y = P_x\cap P_z \;(\text{o eixo }y),\qquad e_z = P_x\cap P_y \;(\text{o eixo }z).
A “face oposta” à aresta e_x é o plano P_x (o único dos três planos que não contém e_x), e analogamente para as outras arestas.

Passo 3

Agora vamos ver a relação entre a direção de uma aresta e o plano oposto. Tome, por exemplo, a aresta e_x (o eixo x). Uma direção conveniente para e_x é o vetor
\mathbf{v}_x=(1,0,0).
O plano oposto P_x (o plano x=0, ou plano yz) tem vetor normal
\mathbf{n}_x=(1,0,0).
Uma reta é perpendicular a um plano quando sua direção é paralela ao vetor normal do plano. Aqui \mathbf{v}_x é paralelo a \mathbf{n}_x, portanto e_x é perpendicular ao plano P_x.

Passo 4

O mesmo raciocínio vale para as outras arestas:
  • Para e_y (eixo y) a direção é \mathbf{v}_y=(0,1,0) e o plano oposto P_y tem normal \mathbf{n}_y=(0,1,0). Logo e_y\perp P_y.
  • Para e_z (eixo z) a direção é \mathbf{v}_z=(0,0,1) e o plano oposto P_z tem normal \mathbf{n}_z=(0,0,1). Logo e_z\perp P_z.
Além do exemplo cartesiano, dá para ver de modo geral: se os três planos têm normais ortogonais \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3, então a direção da interseção de P_2 e P_3 é proporcional a \mathbf{n}_2\times\mathbf{n}_3, e quando \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3 são ortonormais tem-se \mathbf{n}_2\times\mathbf{n}_3=\pm\mathbf{n}_1. Assim a aresta formada por P_2\cap P_3 é paralela a \mathbf{n}_1 e, portanto, perpendicular a P_1. Isso mostra a propriedade de forma coordenada e também de forma vetorial geral.

Passo 5

Conclusão: em um triedro trirretângulo cada aresta é de fato perpendicular ao plano da face oposta. A afirmação é verdadeira — o exemplo dos planos coordenados e o argumento vetorial geral confirmam que isso vale para qualquer triedro formado por três planos mutuamente perpendiculares.

Resposta

V

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