Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Num triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.
Num triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.
Passo 1
O enunciado pede que classifiquemos em verdadeiro (V) ou falso (F) a afirmação: “Num triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.”
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Existe um triedro trirretângulo (ou triédrico com três ângulos diedros retos), isto é, três planos que se encontram num ponto e são mutuamente perpendiculares entre si.
- Precisamos decidir se, nesse triedro, cada aresta (interseção de duas faces) é perpendicular ao plano da face que não contém essa aresta (a “face oposta”).
Passo 2
Para entender bem o cenário, vamos construir um modelo concreto e simples que representa qualquer triedro trirretângulo: as três faces podem ser tomadas como os três planos coordenados do espaço. Ou seja, escolha os planos
Esses três planos são mutuamente perpendiculares e se encontram na origem, portanto formam um triedro trirretângulo. As arestas (linhas de interseção das faces) são então os eixos:
A “face oposta” à aresta
é o plano
(o único dos três planos que não contém
), e analogamente para as outras arestas.
Passo 3
Agora vamos ver a relação entre a direção de uma aresta e o plano oposto. Tome, por exemplo, a aresta
(o eixo
). Uma direção conveniente para
é o vetor
O plano oposto
(o plano
, ou plano
) tem vetor normal
Uma reta é perpendicular a um plano quando sua direção é paralela ao vetor normal do plano. Aqui
é paralelo a
, portanto
é perpendicular ao plano
.
Passo 4
O mesmo raciocínio vale para as outras arestas:
- Para
(eixo ) a direção é e o plano oposto tem normal . Logo . - Para
(eixo ) a direção é e o plano oposto tem normal . Logo .
Além do exemplo cartesiano, dá para ver de modo geral: se os três planos têm normais ortogonais
, então a direção da interseção de
e
é proporcional a
, e quando
são ortonormais tem-se
. Assim a aresta formada por
é paralela a
e, portanto, perpendicular a
. Isso mostra a propriedade de forma coordenada e também de forma vetorial geral.
Passo 5
Conclusão: em um triedro trirretângulo cada aresta é de fato perpendicular ao plano da face oposta. A afirmação é verdadeira — o exemplo dos planos coordenados e o argumento vetorial geral confirmam que isso vale para qualquer triedro formado por três planos mutuamente perpendiculares.
Resposta
V