Um cluster de computação é composto por 14 nós distintos. Sabe-se que 6 desses nós estão configurados em modo A (alta performance) e 8 estão em modo B (economia de energia). Dois nós distintos são escolhidos aleatoriamente, sem reposiçāo, para executar uma tarefa em paralelo.
(a) Calcule a probabilidade de que os dois nós escolhidos estejam configurados no mesmo modo. ( 0,7 )
(b) Sabendo que os dois nós escolhidos estāo configurados no mesmo modo, qual a probabilidade de ambos serem do modo A ?
(c) O fabricante dos nós informou que um nó em modo A falha na execução de uma tarefa em 5 \% das vezes, enquanto que um nó em modo B falha em 25 \% das vezes. O administrador do cluster entāo decide testar cada nó. O primeiro nó é escolhido aleatoriamente e este falha. Qual a probabilidade de que ele estivesse configurado em modo A ? \quad(0,8)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • 14 nós distintos no cluster.
    • 6 desses nós estão no modo A.
    • 8 desses nós estão no modo B.
    • Dois nós distintos são escolhidos aleatoriamente, sem reposição.
    • Probabilidades de falha (informação do fabricante):
      • Um nó em modo A falha com probabilidade 5\% (ou seja, 0,05).
      • Um nó em modo B falha com probabilidade 25\% (ou seja, 0,25).
  • Perguntas:
    (a) Calcular a probabilidade de que os dois nós escolhidos estejam no mesmo modo.
    (b) Condicionalmente aos dois nós estarem no mesmo modo, qual a probabilidade de ambos serem do modo A?
    (c) Escolhendo aleatoriamente um nó e observando que ele falhou no teste, qual a probabilidade de que ele estivesse no modo A?

Passo 2

(a) Cálculo da probabilidade de os dois nós estarem no mesmo modo.
Estratégia: somar a probabilidade de ambos serem A com a probabilidade de ambos serem B. Vou usar duas maneiras equivalentes (combinações e probabilidade sequencial) e mostrar a conta.
Método com combinações (mais direto para “sem reposição”):
  • Número total de pares distintos possíveis: \displaystyle \binom{14}{2}=\frac{14\cdot13}{2}=91.
  • Número de pares ambos em A: \displaystyle \binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15.
  • Número de pares ambos em B: \displaystyle \binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28.
  • Portanto a probabilidade pedida é
\frac{\binom{6}{2}+\binom{8}{2}}{\binom{14}{2}}=\frac{15+28}{91}=\frac{43}{91}.
Converter para decimal (aproximação):
\frac{43}{91}\approx 0{,}4725.
(Método sequencial, para entender a lógica condicional):
  • P(\text{ambos }A)=\dfrac{6}{14}\cdot\dfrac{5}{13}=\dfrac{30}{182}=\dfrac{15}{91}.
  • P(\text{ambos }B)=\dfrac{8}{14}\cdot\dfrac{7}{13}=\dfrac{56}{182}=\dfrac{28}{91}.
  • Soma = \dfrac{15}{91}+\dfrac{28}{91}=\dfrac{43}{91}\approx0{,}4725.

Passo 3

(b) Calcular P(\text{ambos }A \mid \text{mesmo modo}).
Definição (condicional): para eventos X e Y,
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.
Aqui X = "ambos A" e Y= “mesmo modo”. Como X\subset Y, temos
P(\text{ambos }A \mid \text{mesmo modo})=\frac{P(\text{ambos }A)}{P(\text{mesmo modo})}.
Já calculamos P(\text{ambos }A)=\dfrac{15}{91} e P(\text{mesmo modo})=\dfrac{43}{91}. Assim
P(\text{ambos }A \mid \text{mesmo modo})=\frac{\dfrac{15}{91}}{\dfrac{43}{91}}=\frac{15}{43}.
Em decimal:
\frac{15}{43}\approx0{,}3488.
Interpretação simples: entre todos os pares que têm o mesmo modo ( 15 pares AA e 28 pares BB ), a fração que é AA é 15/(15+28)=15/43.

Passo 4

(c) Probabilidade do nó ser do modo A dado que ele falhou. Aqui usamos o Teorema de Bayes. Defino eventos:
  • A: "nó está no modo A".
  • B: "nó está no modo B".
  • F: “nó falha no teste”.
Queremos P(A\mid F). Pelo Teorema de Bayes:
P(A\mid F)=\frac{P(F\mid A)\,P(A)}{P(F)}.
Calculamos as partes:
  • P(A)=\dfrac{6}{14}.
  • P(B)=\dfrac{8}{14}.
  • P(F\mid A)=0{,}05.
  • P(F\mid B)=0{,}25.
    A probabilidade total de falha é
P(F)=P(F\mid A)P(A)+P(F\mid B)P(B) =\frac{6}{14}\cdot0{,}05+\frac{8}{14}\cdot0{,}25.
Calculemos numericamente passo a passo:
\frac{6}{14}\cdot0{,}05=\frac{0{,}3}{14}, \qquad \frac{8}{14}\cdot0{,}25=\frac{2}{14}.
Somando:
P(F)=\frac{0{,}3+2}{14}=\frac{2{,}3}{14}\approx0{,}1642857.
Agora o numerador de Bayes:
P(F\mid A)P(A)=\frac{0{,}3}{14}\approx0{,}0214286.
Portanto
P(A\mid F)=\frac{\dfrac{0{,}3}{14}}{\dfrac{2{,}3}{14}}=\frac{0{,}3}{2{,}3}=\frac{3}{23}.
Em decimal:
\frac{3}{23}\approx0{,}13043478\approx0{,}1304.
Interpretação rápida: apesar de existirem menos nós A e de A ter baixa taxa de falha, a probabilidade de que um nó que falhou seja A é pequena ( \approx13{,}04\%) — faz sentido porque B falha bem mais frequentemente.

Passo 5

Resumo prático para a prova (dicas rápidas que ajudam a lembrar):
  • Para “sem reposição” e escolher pares, combinações \binom{n}{k} são um atalho limpo; sequência condicional também funciona e é útil para entender.
  • Para perguntas condicionais use sempre P(X\mid Y)=P(X\cap Y)/P(Y).
  • Para “probabilidade da causa dada o efeito” use Bayes; calcule primeiro P(\text{efeito}) como soma total ponderada.

Resposta

(a) \dfrac{43}{91}\approx0{,}4725
(b) \dfrac{15}{43}\approx0{,}3488
(c) \dfrac{3}{23}\approx0{,}1304

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