Um cluster de computação é composto por 14 nós distintos. Sabe-se que 6 desses nós estão configurados em modo A (alta performance) e 8 estão em modo B (economia de energia). Dois nós distintos são escolhidos aleatoriamente, sem reposiçāo, para executar uma tarefa em paralelo.
(a) Calcule a probabilidade de que os dois nós escolhidos estejam configurados no mesmo modo. ( 0,7 )
(b) Sabendo que os dois nós escolhidos estāo configurados no mesmo modo, qual a probabilidade de ambos serem do modo A ?
(c) O fabricante dos nós informou que um nó em modo A falha na execução de uma tarefa em
das vezes, enquanto que um nó em modo B falha em
das vezes. O administrador do cluster entāo decide testar cada nó. O primeiro nó é escolhido aleatoriamente e este falha. Qual a probabilidade de que ele estivesse configurado em modo A ?
(a) Calcule a probabilidade de que os dois nós escolhidos estejam configurados no mesmo modo. ( 0,7 )
(b) Sabendo que os dois nós escolhidos estāo configurados no mesmo modo, qual a probabilidade de ambos serem do modo A ?
(c) O fabricante dos nós informou que um nó em modo A falha na execução de uma tarefa em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Há
nós distintos no cluster. -
desses nós estão no modo . -
desses nós estão no modo . - Dois nós distintos são escolhidos aleatoriamente, sem reposição.
- Probabilidades de falha (informação do fabricante):
- Um nó em modo
falha com probabilidade (ou seja, ). - Um nó em modo
falha com probabilidade (ou seja, ).
- Um nó em modo
- Há
- Perguntas:
(a) Calcular a probabilidade de que os dois nós escolhidos estejam no mesmo modo.
(b) Condicionalmente aos dois nós estarem no mesmo modo, qual a probabilidade de ambos serem do modo?
(c) Escolhendo aleatoriamente um nó e observando que ele falhou no teste, qual a probabilidade de que ele estivesse no modo?
Passo 2
(a) Cálculo da probabilidade de os dois nós estarem no mesmo modo.
Estratégia: somar a probabilidade de ambos serem com a probabilidade de ambos serem
. Vou usar duas maneiras equivalentes (combinações e probabilidade sequencial) e mostrar a conta.
Estratégia: somar a probabilidade de ambos serem
Método com combinações (mais direto para “sem reposição”):
- Número total de pares distintos possíveis:
. - Número de pares ambos em
: . - Número de pares ambos em
: . - Portanto a probabilidade pedida é
Converter para decimal (aproximação):
(Método sequencial, para entender a lógica condicional):
-
-
- Soma =
Passo 3
(b) Calcular
.
Definição (condicional): para eventos e
,
Definição (condicional): para eventos
Aqui
= "ambos
" e
= “mesmo modo”. Como
, temos
Já calculamos
e
. Assim
Em decimal:
Interpretação simples: entre todos os pares que têm o mesmo modo (
pares
e
pares
), a fração que é
é
.
Passo 4
(c) Probabilidade do nó ser do modo
dado que ele falhou. Aqui usamos o Teorema de Bayes. Defino eventos:
-
: "nó está no modo ". -
: "nó está no modo ". -
: “nó falha no teste”.
Queremos
. Pelo Teorema de Bayes:
Calculamos as partes:
-
. -
. -
-
A probabilidade total de falha é
Calculemos numericamente passo a passo:
Somando:
Agora o numerador de Bayes:
Portanto
Em decimal:
Interpretação rápida: apesar de existirem menos nós
e de
ter baixa taxa de falha, a probabilidade de que um nó que falhou seja
é pequena (
) — faz sentido porque
falha bem mais frequentemente.
Passo 5
Resumo prático para a prova (dicas rápidas que ajudam a lembrar):
- Para “sem reposição” e escolher pares, combinações
são um atalho limpo; sequência condicional também funciona e é útil para entender. - Para perguntas condicionais use sempre
. - Para “probabilidade da causa dada o efeito” use Bayes; calcule primeiro
como soma total ponderada.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)