O coeficiente de expansão térmica é definido por \alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} e o coeficiente de compressibilidade térmica é definido por \beta=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}. Conhecendo a equação de estado do gás ideal calcule \alpha e \beta para uma amostra de gás ideal que está a temperatura de 25,0^{\circ} \mathrm{C}, pressão de 2,00 \mathrm{~atm} e ocupando um volume de 3,0 \mathrm{~m}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede para calcular o coeficiente de expansão térmica \alpha e o coeficiente de compressibilidade isoterma \beta para uma amostra de gás ideal nas condições dadas.
  • Definições fornecidas: \alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}, \qquad \beta=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}.
  • Dados numéricos do enunciado: T_{\text{(dados)}}=25,0^\circ\mathrm{C},\qquad p_{\text{(dados)}}=2,00\\ \mathrm{atm},\qquad V_{\text{(dados)}}=3,0\\ \mathrm{m}^3.
  • Conversões que usarei (explico e uso porque as grandezas nos coeficientes adotam unidades SI): T=25,0^\circ\mathrm{C}=25,0+273,15=298,15\\ \mathrm{K},
1\\ \mathrm{atm}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\quad\Rightarrow\quad p=2,00\times1,01325\times10^{5}=2,0265\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Estratégia e fórmulas de base (o que vamos usar): a equação de estado do gás ideal
pV=nRT,
onde:
  • p é a pressão (em Pa),
  • V é o volume (em m^{3}),
  • n é o número de mols (adimensional),
  • R é a constante universal dos gases ( R\approx8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura (em K).
Vou escrever V explicitamente em função de T e p e então calcular as derivadas parciais pedidas. Essa é a forma mais direta e padrão para gases ideais.

Passo 3

Derivação de \alpha a partir de \,pV=nRT.
Da equação de estado temos
V=\frac{nR}{p}\,T.
Isto é uma função linear em T com p constante. Agora calculo a derivada parcial necessária:
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}=\frac{nR}{p}.
Substituo na definição de \alpha:
\alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} =\frac{1}{V}\cdot\frac{nR}{p}.
Agora uso a própria equação de estado para eliminar nR/(pV): de pV=nRT segue
\frac{nR}{pV}=\frac{1}{T}.
Portanto a expressão simplificada e muito importante (fácil de lembrar) é
\boxed{\alpha=\frac{1}{T}.}
Comentário didático rápido: para um gás ideal o coeficiente de expansão depende apenas da temperatura absoluta — intuitivo, porque V cresce proporcionalmente a T quando p é constante.

Passo 4

Cálculo numérico de \alpha usando T=298,15\\ \mathrm{K}.
\alpha=\frac{1}{T}=\frac{1}{298,15\\ \mathrm{K}}=3,354016\ldots\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}.
Com os algarismos significativos compatíveis com os dados (três algarismos significativos) escrevemos
\alpha\approx3,35\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 5

Derivação de \beta a partir de \,pV=nRT.
Novamente partir de
V=\frac{nR}{p}\,T.
Agora calculo a derivada parcial de V em relação a p mantendo T constante:
\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{nR\,T}{p}\right)_{T}=-\frac{nR\,T}{p^{2}}.
Plugando na definição de \beta:
\beta=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T} =-\frac{1}{V}\left(-\frac{nR\,T}{p^{2}}\right) =\frac{nR\,T}{p^{2}V}.
Usando pV=nRT para simplificar, observe que nR\,T/(pV)=1. Assim
\beta=\frac{1}{p}.
Comentário didático: para um gás ideal a compressibilidade isoterma é simplesmente o inverso da pressão absoluta — faz sentido físico: maior pressão => menor compressibilidade.

Passo 6

Cálculo numérico de \beta usando p=2,0265\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
\beta=\frac{1}{p}=\frac{1}{2,0265\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}}=4,935\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa}^{-1}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\beta\approx4,93\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa}^{-1}.

Passo 7

Resumo rápido (interpretação e checagem de consistência):
  • \alpha=\dfrac{1}{T} depende só da temperatura absoluta; para T=298,15\\ \mathrm{K} obtém-se \alpha\approx3,35\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}.
  • \beta=\dfrac{1}{p} depende só da pressão absoluta; para p=2,0265\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} obtém-se \beta\approx4,93\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa}^{-1}.

Resposta

\alpha=3,35\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}
\beta=4,93\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa}^{-1}

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