O coeficiente de expansão térmica é definido por
e o coeficiente de compressibilidade térmica é definido por
. Conhecendo a equação de estado do gás ideal calcule
e
para uma amostra de gás ideal que está a temperatura de
, pressão de
e ocupando um volume de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede para calcular o coeficiente de expansão térmica
e o coeficiente de compressibilidade isoterma para uma amostra de gás ideal nas condições dadas. - Definições fornecidas:
- Dados numéricos do enunciado:
- Conversões que usarei (explico e uso porque as grandezas nos coeficientes adotam unidades SI):
Passo 2
Estratégia e fórmulas de base (o que vamos usar): a equação de estado do gás ideal
onde:
-
é a pressão (em Pa), -
é o volume (em m^{3}), -
é o número de mols (adimensional), -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura (em K).
Vou escrever
explicitamente em função de
e
e então calcular as derivadas parciais pedidas. Essa é a forma mais direta e padrão para gases ideais.
Passo 3
Derivação de
a partir de
.
Da equação de estado temos
Isto é uma função linear em
com
constante. Agora calculo a derivada parcial necessária:
Substituo na definição de
:
Agora uso a própria equação de estado para eliminar
: de
segue
Portanto a expressão simplificada e muito importante (fácil de lembrar) é
Comentário didático rápido: para um gás ideal o coeficiente de expansão depende apenas da temperatura absoluta — intuitivo, porque
cresce proporcionalmente a
quando
é constante.
Passo 4
Cálculo numérico de
usando
.
Com os algarismos significativos compatíveis com os dados (três algarismos significativos) escrevemos
Passo 5
Derivação de
a partir de
.
Novamente partir de
Agora calculo a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante:
Plugando na definição de
:
Usando
para simplificar, observe que
. Assim
Comentário didático: para um gás ideal a compressibilidade isoterma é simplesmente o inverso da pressão absoluta — faz sentido físico: maior pressão => menor compressibilidade.
Passo 6
Cálculo numérico de
usando
.
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 7
Resumo rápido (interpretação e checagem de consistência):
-
depende só da temperatura absoluta; para obtém-se . -
depende só da pressão absoluta; para obtém-se .