Coloque V(verdadeiro) e F(falso) e justifique:
a) () 50 \% dos dados de qualquer amostra situam-se acima da média;
b) ( ) Numa turma de 50 alunos onde todos tiraram a nota máxima, o desvio padrão é zero;
c) ( ) Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros, utilizamos a média;
d) ( ) Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica adicionada (ou subtraída) dessa constante.
e) ( ) Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
f) () Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, o desvio padrão fica adicionado (ou subtraído) dessa constante.
g) ( ) Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante. R.: F,V,F,V,V,F,V

Passo 1

O enunciado pede que classificemos cada uma das afirmações (a) a (g) como verdadeira (V) ou falsa (F) e que justifiquemos cada escolha. As afirmações são:
a) () 50\% dos dados de qualquer amostra situam-se acima da média;
b) () Numa turma de 50 alunos onde todos tiraram a nota máxima, o desvio padrão é zero;
c) () Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros, utilizamos a média;
d) () Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica adicionada (ou subtraída) dessa constante.
e) () Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
f) () Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, o desvio padrão fica adicionado (ou subtraído) dessa constante.
g) () Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.
Informações implícitas que usaremos: estamos lidando com a média aritmética e com o desvio padrão (entendido aqui na forma usual — populacional ou amostral — as propriedades de deslocamento e escala que usaremos valem para ambas as definições, com a diferença do denominador que não altera as propriedades de linearidade). A tarefa agora é justificar cada afirmação.

Passo 2

Definição e fórmula da média aritmética — o que é e como calcular. Seja uma sequência de dados x_1,x_2,\dots,x_n. A média aritmética (também chamada de média) é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Significado passo a passo: n é o número total de observações; \sum_{i=1}^{n} x_i é a soma de todos os valores; dividir por n dá a “média” ou valor central em termos de soma por elemento. A média é sensível a valores extremos (outliers): um valor muito grande puxa a média para cima; um muito pequeno puxa para baixo.
Exemplo rápido: para os dados 1,1,10 temos
\bar{x}=\frac{1+1+10}{3}=\frac{12}{3}=4.
Observe que apenas um dos três valores ( 10) está acima de 4, ou seja 1/3 dos dados estão acima da média, não 1/2. Isso já dá pista para a (a).

Passo 3

Definição e fórmula do desvio padrão — conceito e significado. O desvio padrão mede quanto, em média, os valores se afastam da média. A versão populacional é
\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2},
onde \mu é a média populacional (ou, para amostra, usamos s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2}). Aqui (x_i-\mu) é o desvio de cada observação em relação à média, elevamos ao quadrado para evitar cancelamento de sinais e, por fim, extraímos a raiz para voltar à unidade original. O desvio padrão é sempre \ge 0. Se todas as observações são iguais, todos os desvios são zero e, portanto, o desvio padrão é zero.
Propriedades importantes (que usaremos e vamos provar em seguida):
  • Deslocamento por constante: se y_i=x_i+c para toda i, então a média desloca em c mas o desvio padrão fica igual.
  • Escala por constante: se y_i=a x_i para toda i, então a média escala por a e o desvio padrão escala por |a| (ou seja, pelo valor absoluto de a).
Vou provar essas propriedades passo a passo, porque são a chave para várias das afirmações.

Passo 4

Prova da propriedade de deslocamento (soma/subtração de constante) para a média e o desvio padrão.
Sejam y_i = x_i + c para todo i, com c constante.
Média:
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+c)=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}c\right).
Como \sum_{i=1}^{n}c = nc, obtemos
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{nc}{n}=\bar{x}+c.
Logo, adicionar (ou subtrair) c a todos os dados simplesmente adiciona (ou subtrai) c à média — isso confirma a ideia da afirmação (d).
Desvio padrão (usar versão de variância populacional para clareza; o argumento é análogo para amostral):
\sigma_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\big((x_i+c)-(\bar{x}+c)\big)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sigma_x^2.
Portanto \sigma_y=\sigma_x. Ou seja, somar uma constante não altera o desvio padrão. Isso mostra que a afirmação (f) — que diz que o desvio padrão fica adicionado/subtraído da constante — é falsa.

Passo 5

Prova da propriedade de escala (multiplicação/divisão por constante) para a média e o desvio padrão.
Sejam y_i = a x_i para todo i, com a constante.
Média:
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (a x_i)=\frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = a\bar{x}.
Logo a média é multiplicada por a. Isso trata a parte de multiplicar; dividir por constante a é o mesmo que multiplicar por 1/a.
Desvio padrão:
\sigma_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\big(a x_i - a\bar{x}\big)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a^2(x_i-\bar{x})^2 = a^2 \sigma_x^2.
Tomando raiz,
\sigma_y = |a|\,\sigma_x.
Importante: aparece o valor absoluto de a porque \sigma é não negativo. Assim, multiplicar todos os dados por a multiplica o desvio padrão por |a|. Se a>0 então \sigma é multiplicado por a; se a<0 o sinal da escala não altera o desvio padrão, que fica multiplicado por -a (o valor absoluto). Isso confirma a ideia da afirmação (e) (sobre a média) e a parte essencial da (g), com a ressalva do valor absoluto.

Passo 6

Análise e justificativa da afirmação (a).
Afirmação (a): " 50\% dos dados de qualquer amostra situam-se acima da média."
Justificativa: Falso. A média não é, em geral, um ponto que divide os dados em duas metades. O ponto que divide os dados em duas metades é a mediana, não a média. A média pode estar deslocada para cima ou para baixo dependendo da assimetria da distribuição. Exemplo concreto (pegamos o exemplo do Passo 2): dados 1,1,10 têm média \bar{x}=4. Dos 3 dados, apenas 1 (ou seja \tfrac{1}{3}) está acima de \bar{x}, não 50\%. Portanto (a) é Falsa.

Passo 7

Análise e justificativa da afirmação (b).
Afirmação (b): “Numa turma de 50 alunos onde todos tiraram a nota máxima, o desvio padrão é zero.”
Justificativa: Verdadeiro. Se todos os n=50 valores são iguais a um mesmo número k, então cada desvio x_i-\bar{x} é k-k=0. Assim a variância (média dos quadrados dos desvios) é 0 e o desvio padrão \sigma é \sqrt{0}=0. Portanto (b) é Verdadeira.

Passo 8

Análise e justificativa da afirmação (c).
Afirmação (c): “Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros, utilizamos a média.”
Justificativa: Falso. Para saber qual questão teve maior número de erros devemos olhar para a contagem (ou proporção) de erros por questão — isto é estatística de frequência. A média das notas dos alunos não informa diretamente qual questão específica foi mais incorreta. Um procedimento correto é, para cada questão, contar quantos alunos erraram e comparar essas contagens (ou proporções). Por exemplo, se na questão 1 erraram 30 alunos e na questão 2 erraram 10, a questão 1 teve mais erros; isso é uma análise de frequências, não de média. Portanto (c) é Falsa.

Passo 9

Análise e justificativa da afirmação (d).
Afirmação (d): “Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica adicionada (ou subtraída) dessa constante.”
Justificativa: Verdadeiro. Já provamos no Passo 4 que, para y_i=x_i+c, tem-se \bar{y}=\bar{x}+c. Assim, a média é simplesmente deslocada pela constante adicionada ou subtraída. Portanto (d) é Verdadeira.

Passo 10

Análise e justificativa da afirmação (e).
Afirmação (e): “Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.”
Justificativa: Verdadeiro. No Passo 5 mostramos que para y_i=a x_i tem-se \bar{y}=a\bar{x}. Dividir por uma constante é multiplicar por 1/a, então a média escala conforme a constante. Portanto (e) é Verdadeira.

Passo 11

Análise e justificativa da afirmação (f).
Afirmação (f): “Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, o desvio padrão fica adicionado (ou subtraído) dessa constante.”
Justificativa: Falso. Como mostrado no Passo 4, somar uma constante a todos os dados não altera os desvios em relação à média (os +c cancelam), logo a variância e o desvio padrão permanecem iguais. Então o desvio padrão não é adicionado nem subtraído da constante; ele permanece o mesmo. Portanto (f) é Falsa.

Passo 12

Análise e justificativa da afirmação (g).
Afirmação (g): “Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um conjunto de dados, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.”
Justificativa: Verdadeiro com ressalva técnica: se multiplicamos todos os dados por a, então o desvio padrão é multiplicado por |a|, o valor absoluto de a. No caso usual de constante positiva a>0, isso significa que a variabilidade é multiplicada por a (e dividir por a corresponde a multiplicar por 1/a). Se a for negativo, o desvio padrão é multiplicado por -a (ou seja, por |a|), porque o desvio padrão não pode ser negativo. Assim, interpretando a afirmação no sentido usual (constante positiva ou entendendo a necessidade do valor absoluto), a propriedade é correta: o desvio padrão escala proporcionalmente à constante. Portanto (g) é Verdadeira, com a observação de que a multiplicação efetiva é por |a|.

Resposta

a) F
b) V
c) F
d) V
e) V
f) F
g) V

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