Comparar
e
para
.
Passo 1
O enunciado pede comparar
e
para os valores
.
Informações dadas:
- As duas expressões a comparar são
e . - Valores de
a considerar: , e .
Passo 2
Primeiro passo natural: verificar se existe alguma relação entre as duas expressões. Há uma identidade trigonométrica sólida que liga cosseno e seno de meia-ângulo:
Se colocarmos
(ou seja,
) obtemos
Rearranjando:
Portanto, matematicamente as duas expressões são idênticas para todo
. Isso já responde a comparação teórica: as duas expressões são iguais.
Passo 3
Agora vamos analisar numericamente os valores para os
muito pequenos dados. Quando
é pequeno, é didático usar as expansões em séries (série de Taylor) para seno e cosseno em torno de
. As duas séries iniciais relevantes são:
Aplicando
na série de
e então elevando ao quadrado e multiplicando por
, temos
Fazendo a expansão até a ordem
(suficiente para os nossos
pequenos):
Compare com
usando a série do cosseno:
As duas séries coincidem termo a termo, confirmando a identidade e mostrando qual é o comportamento numérico dominante quando
é pequeno: o termo principal é
; os demais termos são muito menores (ordem
e inferiores).
Passo 4
Agora calculamos as aproximações numéricas usando os termos dominantes. Para cada
vamos usar
para ter uma estimativa refinada, e perceber que o termo de ordem
é completamente negligenciável para nossos
.
Caso
:
-
. -
. -
. -
.
Subtraindo:
Mas, de forma prática, vale
.
Caso
:
-
. -
. -
. -
(irrelevante).
Logo
Caso
:
-
. -
. -
e é ínfimo.
Logo
Esses valores valem igualmente para
, pois são exatamente a mesma função.
Passo 5
Observação prática (útil na prova e na programação numérica): embora as expressões sejam algebraicamente iguais, calcular numericamente
com ponto flutuante pode ser instável para
muito pequeno porque se faz a subtração de dois números próximos (catástrofe de cancelamento). Por exemplo, para
o valor resultante é da ordem de
, que é da mesma ordem ou menor que a precisão de máquina típica (
em dupla precisão), então o resultado pode ficar impreciso ou até ser arredondado a zero dependendo da implementação. Em contraste, calcular
costuma ser numericamente mais estável (ou usar a aproximação
quando
for conhecido como pequeno).