Comparar 1-\cos x e 2 \sin ^{2}(x / 2) para x=10^{-4}, 10^{-6}, 10^{-8}.

Passo 1

O enunciado pede comparar 1-\cos x e 2\sin^{2}(x/2) para os valores x=10^{-4},\;10^{-6},\;10^{-8}.
Informações dadas:
  • As duas expressões a comparar são 1-\cos x e 2\sin^{2}(x/2).
  • Valores de x a considerar: x=10^{-4}, x=10^{-6} e x=10^{-8}.

Passo 2

Primeiro passo natural: verificar se existe alguma relação entre as duas expressões. Há uma identidade trigonométrica sólida que liga cosseno e seno de meia-ângulo:
\cos(2a)=1-2\sin^{2}a.
Se colocarmos 2a=x (ou seja, a=x/2) obtemos
\cos x = 1-2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Rearranjando:
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Portanto, matematicamente as duas expressões são idênticas para todo x. Isso já responde a comparação teórica: as duas expressões são iguais.

Passo 3

Agora vamos analisar numericamente os valores para os x muito pequenos dados. Quando x é pequeno, é didático usar as expansões em séries (série de Taylor) para seno e cosseno em torno de 0. As duas séries iniciais relevantes são:
\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\cdots,
\sin y = y-\frac{y^{3}}{6}+\frac{y^{5}}{120}-\cdots.
Aplicando y=x/2 na série de \sin e então elevando ao quadrado e multiplicando por 2, temos
2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right) =2\left(\frac{x}{2}-\frac{(x/2)^{3}}{6}+\cdots\right)^{2}.
Fazendo a expansão até a ordem x^{4} (suficiente para os nossos x pequenos):
2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right) =2\left(\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{4}}{48}+\cdots\right) =\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}+\cdots.
Compare com 1-\cos x usando a série do cosseno:
1-\cos x = \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}+\cdots.
As duas séries coincidem termo a termo, confirmando a identidade e mostrando qual é o comportamento numérico dominante quando x é pequeno: o termo principal é \dfrac{x^{2}}{2}; os demais termos são muito menores (ordem x^{4} e inferiores).

Passo 4

Agora calculamos as aproximações numéricas usando os termos dominantes. Para cada x vamos usar
1-\cos x \approx \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{24},
para ter uma estimativa refinada, e perceber que o termo de ordem x^{4} é completamente negligenciável para nossos x.
Caso x=10^{-4}:
  • x^{2}=(10^{-4})^{2}=10^{-8}.
  • \dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{10^{-8}}{2}=5\cdot10^{-9}.
  • x^{4}=(10^{-4})^{4}=10^{-16}.
  • \dfrac{x^{4}}{24}=\dfrac{10^{-16}}{24}\approx4{,}1666667\cdot10^{-18}.
    Subtraindo:
1-\cos x \approx 5\cdot10^{-9}-4{,}1666667\cdot10^{-18}\approx 4{,}999999995833333\cdot10^{-9}.
Mas, de forma prática, vale \approx 5\cdot10^{-9}.
Caso x=10^{-6}:
  • x^{2}=10^{-12}.
  • \dfrac{x^{2}}{2}=5\cdot10^{-13}.
  • x^{4}=10^{-24}.
  • \dfrac{x^{4}}{24}\approx4{,}1666667\cdot10^{-26} (irrelevante).
    Logo
1-\cos x \approx 5\cdot10^{-13}.
Caso x=10^{-8}:
  • x^{2}=10^{-16}.
  • \dfrac{x^{2}}{2}=5\cdot10^{-17}.
  • x^{4}=10^{-32} e \dfrac{x^{4}}{24} é ínfimo.
    Logo
1-\cos x \approx 5\cdot10^{-17}.
Esses valores valem igualmente para 2\sin^{2}(x/2), pois são exatamente a mesma função.

Passo 5

Observação prática (útil na prova e na programação numérica): embora as expressões sejam algebraicamente iguais, calcular numericamente 1-\cos x com ponto flutuante pode ser instável para x muito pequeno porque se faz a subtração de dois números próximos (catástrofe de cancelamento). Por exemplo, para x=10^{-8} o valor resultante é da ordem de 5\cdot10^{-17}, que é da mesma ordem ou menor que a precisão de máquina típica ( \sim 10^{-16} em dupla precisão), então o resultado pode ficar impreciso ou até ser arredondado a zero dependendo da implementação. Em contraste, calcular 2\sin^{2}(x/2) costuma ser numericamente mais estável (ou usar a aproximação \dfrac{x^{2}}{2} quando x for conhecido como pequeno).

Resposta

x=10^{-4}:\\\ 1-\cos x = 2\sin^{2}(x/2) \approx 5\cdot10^{-9}\n
x=10^{-6}:\\\ 1-\cos x = 2\sin^{2}(x/2) \approx 5\cdot10^{-13}\n
x=10^{-8}:\\\ 1-\cos x = 2\sin^{2}(x/2) \approx 5\cdot10^{-17}

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