Um componente eletrônico, de marca “A”, tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas e um custo unitário de
10,00
\mathrm{R} $15,00
\mathrm{R} $ 8,00$ se o componente durar menos de 200 horas, qualquer que seja a marca.
a) Para cada marca, qual é a probabilidade de que incida um custo adicional?
b) Se 15 componentes da marca “A” forem selecionados, qual a probabilidade de ocorrer cobrança adicional para 5 deles? (Apresente cálculos/comentários para justificar a resposta.)
a) Para cada marca, qual é a probabilidade de que incida um custo adicional?
b) Se 15 componentes da marca “A” forem selecionados, qual a probabilidade de ocorrer cobrança adicional para 5 deles? (Apresente cálculos/comentários para justificar a resposta.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Dados fornecidos:
- Marca “A”: vida com distribuição exponencial com vida média
horas; custo unitário . - Marca “B”: vida com distribuição exponencial com vida média
horas; custo unitário . - Há um custo adicional de
se o componente durar menos de horas, independentemente da marca.
- Marca “A”: vida com distribuição exponencial com vida média
- Perguntas:
a) Para cada marca, qual é a probabilidade de que incida o custo adicional (ou seja, a probabilidade de que a vida seja menor quehoras)?
b) Secomponentes da marca “A” forem selecionados, qual é a probabilidade de que exatamente deles tenham cobrança adicional?
Passo 2
Entender e lembrar a fórmula da distribuição exponencial — aula rápida e amigável.
- A distribuição exponencial é usada para modelar tempos de vida “sem memória” (a chance de falhar nos próximos instantes não depende do tempo já vivido).
- A densidade tem parâmetro
(taxa). A relação com a vida média (valor esperado) é Ou seja, sabendo a média , tem-se . - A função distribuição acumulada (probabilidade de que a vida
seja menor que ) é Aqui é o tempo (horas) e é a base dos logaritmos naturais. - Aplicando isso: para calcular a probabilidade de durar menos que
horas basta achar de cada marca e usar .
Passo 3
Calcular
para cada marca usando a relação média
.
- Para a marca “A”: vida média
horas, então - Para a marca “B”: vida média
horas, então
Passo 4
Calcular a probabilidade de incidir o custo adicional (isto é,
) para cada marca, escrevendo a expressão exata e depois aproximando numericamente.
-
Marca A:Aproximação numérica (usando
): -
Marca B:Aproximação numérica (usando
):
(Comentário amigo: ou seja, a marca A tem maior probabilidade de falhar antes de 200 h porque sua vida média é menor — faz sentido intuitivo.)
Passo 5
Modelagem do item (b): por que usar a distribuição binomial e qual é o parâmetro?
- Se escolhemos
componentes independentes todos da mesma marca “A”, cada componente tem probabilidade de incidir o custo adicional (evento “falhar antes de 200 h”). - Como os componentes são independentes e cada um tem a mesma probabilidade de “sucesso” (falhar antes de 200 h), o número de componentes que terão cobrança adicional segue uma distribuição binomial com parâmetros
e . - A probabilidade de ocorrer exatamente
componentes com cobrança adicional é onde .
Passo 6
Aplicar a fórmula binomial para
,
e
. Mostrar cálculo do coeficiente e simplificações que ajudam nos números.
- Escrevendo a probabilidade pedida:
Observação: note que , então . - Calcular
explicitamente:
Passo 7
Fazer as aproximações numéricas passo a passo para obter o valor final de (b).
-
Já temos
e . -
Calcular
. Uma forma estável é usar logaritmo: , então -
Calcular
. -
Multiplicar tudo:Primeiro produto interno:Multiplicando pelo coeficiente:
-
Portanto a probabilidade numérica aproximada é
, ou seja cerca de .
(Comentário amigo: esse número é muito pequeno porque exigir exatamente 5 falhas dentre 15 quando a probabilidade de NÃO falhar antes de 200 h é baixa é improvável — repare que para a marca A a chance de falhar antes de 200 h é alta, então a probabilidade de apenas 5 falharem enquanto 10 não falham fica pequena porque esperaríamos mais falhas em média. Além disso o termo
é muito pequeno e diminui bastante a probabilidade.)
Resposta
a) Marca A:
a) Marca B:
b)
a) Marca B:
b)