Um componente eletrônico, de marca “A”, tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas e um custo unitário de \mathrm{R} \ 10,00 . A marca " B " desse componente eletrônico, também segue distribuição exponencial, mas com vida média de 200 horas e um custo deôéçãé\mathrm{R} $15,00 . Considere também a incidência de um custo adicional deéê\mathrm{R} $ 8,00$ se o componente durar menos de 200 horas, qualquer que seja a marca.
a) Para cada marca, qual é a probabilidade de que incida um custo adicional?
b) Se 15 componentes da marca “A” forem selecionados, qual a probabilidade de ocorrer cobrança adicional para 5 deles? (Apresente cálculos/comentários para justificar a resposta.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Marca “A”: vida com distribuição exponencial com vida média 100 horas; custo unitário \mathrm{R}\$\,10,00.
    • Marca “B”: vida com distribuição exponencial com vida média 200 horas; custo unitário \mathrm{R}\$\,15,00.
    • Há um custo adicional de \mathrm{R}\$\,8,00 se o componente durar menos de 200 horas, independentemente da marca.
  • Perguntas:
    a) Para cada marca, qual é a probabilidade de que incida o custo adicional (ou seja, a probabilidade de que a vida seja menor que 200 horas)?
    b) Se 15 componentes da marca “A” forem selecionados, qual é a probabilidade de que exatamente 5 deles tenham cobrança adicional?

Passo 2

Entender e lembrar a fórmula da distribuição exponencial — aula rápida e amigável.
  • A distribuição exponencial é usada para modelar tempos de vida “sem memória” (a chance de falhar nos próximos instantes não depende do tempo já vivido).
  • A densidade tem parâmetro \lambda>0 (taxa). A relação com a vida média (valor esperado) é \text{vida média} = \frac{1}{\lambda}.éOu seja, sabendo a média m, tem-se \lambda = \dfrac{1}{m}.
  • A função distribuição acumulada (probabilidade de que a vida X seja menor que t) é P(X<t) = 1 - e^{-\lambda t}.Aqui t é o tempo (horas) e e é a base dos logaritmos naturais.
  • Aplicando isso: para calcular a probabilidade de durar menos que 200 horas basta achar \lambda de cada marca e usar P(X<200)=1-e^{-\lambda\cdot 200}.

Passo 3

Calcular \lambda para cada marca usando a relação média =1/\lambda.
  • Para a marca “A”: vida média =100 horas, então \lambda_A = \frac{1}{100}\\ \text{(por hora)}.
  • Para a marca “B”: vida média =200 horas, então \lambda_B = \frac{1}{200}\\ \text{(por hora)}.

Passo 4

Calcular a probabilidade de incidir o custo adicional (isto é, P(X<200)) para cada marca, escrevendo a expressão exata e depois aproximando numericamente.
  • Marca A:
    P_A = P(X<200)=1-e^{-\lambda_A\cdot 200}=1-e^{-\frac{1}{100}\cdot 200}=1-e^{-2}.
    Aproximação numérica (usando e^{-2}\approx 0,1353352832):
    P_A = 1-e^{-2}\approx 0,8646647168.
  • Marca B:
    P_B = P(X<200)=1-e^{-\lambda_B\cdot 200}=1-e^{-\frac{1}{200}\cdot 200}=1-e^{-1}.
    Aproximação numérica (usando e^{-1}\approx 0,3678794412):
    P_B = 1-e^{-1}\approx 0,6321205588.
(Comentário amigo: ou seja, a marca A tem maior probabilidade de falhar antes de 200 h porque sua vida média é menor — faz sentido intuitivo.)

Passo 5

Modelagem do item (b): por que usar a distribuição binomial e qual é o parâmetro?
  • Se escolhemos 15 componentes independentes todos da mesma marca “A”, cada componente tem probabilidade P_A de incidir o custo adicional (evento “falhar antes de 200 h”).
  • Como os componentes são independentes e cada um tem a mesma probabilidade de “sucesso” (falhar antes de 200 h), o número de componentes que terão cobrança adicional segue uma distribuição binomial com parâmetros n=15 e p=P_A.
  • A probabilidade de ocorrer exatamente k componentes com cobrança adicional é P(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k},onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 6

Aplicar a fórmula binomial para n=15, k=5 e p=P_A=1-e^{-2}. Mostrar cálculo do coeficiente e simplificações que ajudam nos números.
  • Escrevendo a probabilidade pedida: P(\text{exatamente }5)=\binom{15}{5}(1-e^{-2})^{5}\bigl(e^{-2}\bigr)^{10}.Observação: note que 1-p = e^{-2}, então (1-p)^{10}=(e^{-2})^{10}=e^{-20}.
  • Calcular \binom{15}{5} explicitamente: \binom{15}{5}=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=3003.

Passo 7

Fazer as aproximações numéricas passo a passo para obter o valor final de (b).
  • Já temos p=1-e^{-2}\approx 0,8646647168 e 1-p=e^{-2}\approx 0,1353352832.
  • Calcular p^{5}. Uma forma estável é usar logaritmo: \ln(p)\approx -0,1454134577, então
    p^{5}=e^{5\ln p}\approx e^{-0,7270672885}\approx 0,4832006690.
  • Calcular (1-p)^{10}=(e^{-2})^{10}=e^{-20}\approx 2{,}061153622\times 10^{-9}.
  • Multiplicar tudo:
    P(\text{exatamente }5)=3003\times 0,4832006690\times 2{,}061153622\times 10^{-9}.
    Primeiro produto interno:
    0,4832006690\times 2{,}061153622\times 10^{-9}\approx 9{,}961321\times 10^{-10}.
    Multiplicando pelo coeficiente:
    3003\times 9{,}961321\times 10^{-10}\approx 2{,}992789\times 10^{-6}.
  • Portanto a probabilidade numérica aproximada é \approx 2{,}9928\times 10^{-6}, ou seja cerca de 0{,}000002993.
(Comentário amigo: esse número é muito pequeno porque exigir exatamente 5 falhas dentre 15 quando a probabilidade de NÃO falhar antes de 200 h é baixa é improvável — repare que para a marca A a chance de falhar antes de 200 h é alta, então a probabilidade de apenas 5 falharem enquanto 10 não falham fica pequena porque esperaríamos mais falhas em média. Além disso o termo e^{-20} é muito pequeno e diminui bastante a probabilidade.)

Resposta

a) Marca A: 1-e^{-2}\approx 0,8646647168
a) Marca B: 1-e^{-1}\approx 0,6321205588
b) \displaystyle \binom{15}{5}(1-e^{-2})^{5}(e^{-2})^{10}\approx 2{,}9928\times 10^{-6}

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