Um componente em MgO não deve falhar quando for aplicada uma tensão de tração de
. Determine o comprimento máximo para uma trinca superficial se a energia de superfície do MgO é de
Material
Resistência à flexão
(MPa)
Módulo de elasticidade
(GPa)
Óxido de Magnésio
105
225
| Material |
|
|
||||
| Óxido de Magnésio | 105 | 225 |
Passo 1
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado e da tabela):
- Tensão aplicada
. - Energia de superfície do MgO
. - Módulo de elasticidade
(da tabela). - Resistência à flexão
(da tabela) — informação disponível, mas não usada diretamente no cálculo da trinca crítica.
Pergunta: determinar o comprimento máximo da trinca superficial para que o componente NÃO falhe sob.
Passo 2
Conceitos básicos e estratégia (a “aula” curta e amigável):
- Em materiais frágeis como o MgO, usa-se o critério de Griffith (equilíbrio de energia) para prever quando uma trinca vai crescer. A ideia é comparar a energia liberada pela redução da energia elástica com a energia necessária para criar novas superfícies de trinca.
- Definições importantes:
-
é a energia de superfície por unidade de área (unidade ). Quando a trinca avança, criam-se novas superfícies e custa energia por unidade de área (duas faces da trinca). -
é o fator de intensidade de tensões no modo I (abertura). Para uma trinca de comprimento característico sujeita a tensão distante, tem-se a forma geral , onde é um fator geométrico (depende da forma e posição da trinca). - A taxa de liberação de energia
relaciona-se com por (esta forma vale para condição de plano de tensão; usamos E aqui para simplificar a prática usual). - Critério de fratura (Griffith): a fratura ocorre quando
, onde é a energia crítica de fratura; para materiais ideais e sem dissipação plástica .
-
- Portanto, equacionamos
e substituímos para obter relação entre , , , e . - Observação sobre
: para uma trinca central em placa infinita costuma-se usar . Para uma trinca na superfície (trinca de borda / superficial) um valor típico é . Como o enunciado pede explicitamente “trinca superficial”, é mais realista incluir . Vou fazer a dedução geral com e depois usar .
Passo 3
Dedução algébrica da expressão para o comprimento crítico
:
- Partindo de
e , tem-se
- Pelo critério de Griffith
. Igualando:
- Isolando
:
- Esta fórmula dá o comprimento crítico
em metros se estiver em , em e em . Observação: se isso corresponde à fórmula frequentemente citada para uma trinca central; para trinca superficial inclui-se (>1 normalmente), reduzindo .
Passo 4
Conversões e cálculo numérico (calcule passo a passo sem pular contas):
- Converter para unidades SI:
-
. -
. -
.
-
- Calcular
:
- Calcular o numerador
:
- Primeiro, como referência, calcular
supondo (aproximação central):
Calcule o denominador:
Portanto
Passo 5
Aplicando o fator geométrico para trinca superficial (comentário prático e cálculo final):
- Para trinca na superfície (trinca de borda), usa-se um fator geométrico típico
. Isso diminui o comprimento crítico segundo a fórmula:
- Calcular
. - Assim
- Interpretação física rápida e incentivo: isso significa que, para que o MgO não sofra fratura por crescimento de trinca sob
, a trinca superficial não deve ser maior que cerca de . Se houver trincas maiores, a energia disponível é suficiente para fazê-las crescer criticamente. Nota: o valor da resistência à flexão (105 MPa) é bem maior que , indicando que, sem trincas, o material suporta essa tensão com folga; porém a presença de trincas reduz dramaticamente a tensão crítica, por isso o controle do tamanho da trinca é essencial.