Um componente em MgO não deve falhar quando for aplicada uma tensão de tração de 13,5 \mathrm{MPa}. Determine o comprimento máximo para uma trinca superficial se a energia de superfície do MgO é de 10 \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{2}
Material
Resistência à flexão
(MPa)
Módulo de elasticidade
(GPa)
Óxido de Magnésio 105 225

Passo 1

Dados fornecidos (peguei todos do enunciado e da tabela):
  • Tensão aplicada \sigma_{\text{aplic}} = 13,5\\ \mathrm{MPa}.
  • Energia de superfície do MgO \gamma = 10\\ \mathrm{J/m^{2}}.
  • Módulo de elasticidade E = 225\\ \mathrm{GPa} (da tabela).
  • Resistência à flexão =105\\ \mathrm{MPa} (da tabela) — informação disponível, mas não usada diretamente no cálculo da trinca crítica.
    Pergunta: determinar o comprimento máximo da trinca superficial para que o componente NÃO falhe sob \sigma_{\text{aplic}} = 13,5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Conceitos básicos e estratégia (a “aula” curta e amigável):
  • Em materiais frágeis como o MgO, usa-se o critério de Griffith (equilíbrio de energia) para prever quando uma trinca vai crescer. A ideia é comparar a energia liberada pela redução da energia elástica com a energia necessária para criar novas superfícies de trinca.
  • Definições importantes:
    • \gamma é a energia de superfície por unidade de área (unidade \mathrm{J/m^{2}}). Quando a trinca avança, criam-se novas superfícies e custa energia 2\gamma por unidade de área (duas faces da trinca).
    • K_I é o fator de intensidade de tensões no modo I (abertura). Para uma trinca de comprimento característico a sujeita a tensão \sigma distante, tem-se a forma geral K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a}, onde Y é um fator geométrico (depende da forma e posição da trinca).
    • A taxa de liberação de energia G relaciona-se com K_I por G = \dfrac{K_I^{2}}{E} (esta forma vale para condição de plano de tensão; usamos E aqui para simplificar a prática usual).
    • Critério de fratura (Griffith): a fratura ocorre quando G = G_c, onde G_c é a energia crítica de fratura; para materiais ideais e sem dissipação plástica G_c \approx 2\gamma.
  • Portanto, equacionamos \dfrac{K_I^{2}}{E} = 2\gamma e substituímos K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a} para obter relação entre a, E, \gamma, \sigma e Y.
  • Observação sobre Y: para uma trinca central em placa infinita costuma-se usar Y=1. Para uma trinca na superfície (trinca de borda / superficial) um valor típico é Y\approx1{,}12. Como o enunciado pede explicitamente “trinca superficial”, é mais realista incluir Y\neq1. Vou fazer a dedução geral com Y e depois usar Y=1{,}12.

Passo 3

Dedução algébrica da expressão para o comprimento crítico a:
  • Partindo de G = \dfrac{K_I^{2}}{E} e K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a}, tem-se
G = \dfrac{(Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a})^{2}}{E} = \dfrac{Y^{2}\,\sigma^{2}\,\pi a}{E}.
  • Pelo critério de Griffith G = G_c \approx 2\gamma. Igualando:
\dfrac{Y^{2}\,\sigma^{2}\,\pi a}{E} = 2\gamma.
  • Isolando a:
a = \dfrac{2 E \gamma}{\pi \sigma^{2} Y^{2}}.
  • Esta fórmula dá o comprimento crítico a em metros se E estiver em \mathrm{Pa}, \gamma em \mathrm{J/m^{2}} e \sigma em \mathrm{Pa}. Observação: se Y=1 isso corresponde à fórmula frequentemente citada para uma trinca central; para trinca superficial inclui-se Y (>1 normalmente), reduzindo a.

Passo 4

Conversões e cálculo numérico (calcule passo a passo sem pular contas):
  • Converter para unidades SI:
    • E = 225\\ \mathrm{GPa} = 225\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
    • \gamma = 10\\ \mathrm{J/m^{2}}.
    • \sigma = 13{,}5\\ \mathrm{MPa} = 13{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular \sigma^{2}:
\sigma^{2} = (13{,}5\times10^{6})^{2} = 13{,}5^{2}\times10^{12} = 182{,}25\times10^{12} = 1{,}8225\times10^{14}\\ \mathrm{Pa^{2}}.
  • Calcular o numerador 2E\gamma:
2E\gamma = 2 \times 225\times10^{9} \times 10 = 4{,}5\times10^{12}\\ (\text{unidades: Pa}\cdot\mathrm{m}).
  • Primeiro, como referência, calcular a supondo Y=1 (aproximação central):
a_{Y=1} = \dfrac{4{,}5\times10^{12}}{\pi \times 1{,}8225\times10^{14}}.
Calcule o denominador:
\pi \times 1{,}8225\times10^{14} \approx 3{,}1416 \times 1{,}8225\times10^{14} \approx 5{,}726\times10^{14}.
Portanto
a_{Y=1} \approx \dfrac{4{,}5\times10^{12}}{5{,}726\times10^{14}} \approx 7{,}858\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 7{,}86\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Aplicando o fator geométrico para trinca superficial (comentário prático e cálculo final):
  • Para trinca na superfície (trinca de borda), usa-se um fator geométrico típico Y\approx1{,}12. Isso diminui o comprimento crítico segundo a fórmula:
a = \dfrac{2 E \gamma}{\pi \sigma^{2} Y^{2}}.
  • Calcular Y^{2} = 1{,}12^{2} = 1{,}2544.
  • Assim
a_{Y=1{,}12} = \dfrac{a_{Y=1}}{Y^{2}} \approx \dfrac{7{,}858\times10^{-3}}{1{,}2544} \approx 6{,}265\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 6{,}27\\ \mathrm{mm}.
  • Interpretação física rápida e incentivo: isso significa que, para que o MgO não sofra fratura por crescimento de trinca sob 13{,}5\\ \mathrm{MPa}, a trinca superficial não deve ser maior que cerca de 6{,}3\\ \mathrm{mm}. Se houver trincas maiores, a energia disponível é suficiente para fazê-las crescer criticamente. Nota: o valor da resistência à flexão (105 MPa) é bem maior que 13{,}5\\ \mathrm{MPa}, indicando que, sem trincas, o material suporta essa tensão com folga; porém a presença de trincas reduz dramaticamente a tensão crítica, por isso o controle do tamanho da trinca é essencial.

Resposta

a_{\max}\approx6{,}27\\ \mathrm{mm}

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