Dê a componente de
, em
, ortogonal ao vetor
.
Passo 1
O enunciado pede: “Dê a componente de
, em
, ortogonal ao vetor
.”
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. -
.
O que se pede: encontrar o vetor componente deque é ortogonal a (ou seja, a parte de que fica perpendicular a ).
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Todo vetor
pode ser escrito como soma de duas partes: uma paralela a (projeção de sobre ) e outra ortogonal a . Escrevemos
onde
é a componente de
ortogonal a
(é o que queremos).
- A projeção de
sobre é dada por
Aqui
é o produto escalar e
é o quadrado da norma de
. O produto escalar entre dois vetores
e
é
- Assim, a componente ortogonal que queremos é
Vou calcular passo a passo.
Passo 3
Calcular o produto escalar
e
.
Passo 4
Calcular a projeção
.
Passo 5
Calcular a componente ortogonal
.
Agora simplificar cada coordenada:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (para me deixar confiante): conferir que
é ortogonal a
calculando
.
Como o produto escalar é zero,
é realmente ortogonal a
. Bom trabalho — já está pronto!