Dê a componente de u=(2,-1,1), em \mathbb{R}^{3}, ortogonal ao vetor v=(1,2,1).

Passo 1

O enunciado pede: “Dê a componente de u=(2,-1,1), em \mathbb{R}^{3}, ortogonal ao vetor v=(1,2,1).”
Informações dadas:
  • u=(2,-1,1).
  • v=(1,2,1).
    O que se pede: encontrar o vetor componente de u que é ortogonal a v (ou seja, a parte de u que fica perpendicular a v).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Todo vetor u pode ser escrito como soma de duas partes: uma paralela a v (projeção de u sobre v) e outra ortogonal a v. Escrevemos
u = \operatorname{proj}_v(u) + w,
onde w é a componente de u ortogonal a v (é o que queremos).
  • A projeção de u sobre v é dada por
\operatorname{proj}_v(u)=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v.
Aqui u\cdot v é o produto escalar e v\cdot v é o quadrado da norma de v. O produto escalar entre dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
  • Assim, a componente ortogonal que queremos é
w = u - \operatorname{proj}_v(u).
Vou calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v e v\cdot v.
u\cdot v = (2)\cdot(1) + (-1)\cdot(2) + (1)\cdot(1) = 2 - 2 + 1 = 1.
v\cdot v = (1)^2 + (2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6.

Passo 4

Calcular a projeção \operatorname{proj}_v(u).
\operatorname{proj}_v(u)=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v=\frac{1}{6}\,(1,2,1)=\left(\frac{1}{6},\frac{2}{6},\frac{1}{6}\right)=\left(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right).

Passo 5

Calcular a componente ortogonal w = u - \operatorname{proj}_v(u).
w = \left(2,-1,1\right) - \left(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right) = \left(2-\frac{1}{6},\,-1-\frac{1}{3},\,1-\frac{1}{6}\right).
Agora simplificar cada coordenada:
2-\frac{1}{6}=\frac{12}{6}-\frac{1}{6}=\frac{11}{6}, \qquad -1-\frac{1}{3}=-\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}, \qquad 1-\frac{1}{6}=\frac{6}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.
Portanto
w=\left(\frac{11}{6},-\frac{4}{3},\frac{5}{6}\right).

Passo 6

Verificação rápida (para me deixar confiante): conferir que w é ortogonal a v calculando w\cdot v.
w\cdot v = \frac{11}{6}\cdot 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)\cdot 2 + \frac{5}{6}\cdot 1 = \frac{11}{6} - \frac{8}{3} + \frac{5}{6} = \frac{11+5}{6} - \frac{8}{3} = \frac{16}{6} - \frac{8}{3} = \frac{8}{3} - \frac{8}{3} = 0.
Como o produto escalar é zero, w é realmente ortogonal a v. Bom trabalho — já está pronto!

Resposta

\left(\dfrac{11}{6},-\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{6}\right)

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