Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual o preço ao automóvel?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- As prestações são 7 no total.
- A primeira prestação vale
reais. - Cada prestação seguinte é o dobro da anterior.
O que o problema pede:
- Determinar o preço do automóvel, ou seja, a soma das 7 prestações.
Passo 2
Vamos traduzir as informações para uma sequência numérica que dá pra somar facilmente.
- Seja
a primeira prestação. Então . - Cada termo é o dobro do anterior, logo a razão da sequência é
. - O número de termos é
.
Portanto os termos são
Passo 3
Esses termos formam uma progressão geométrica (PG). Vou explicar o que é uma PG e a fórmula da soma, de forma bem direta:
- Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante
chamada razão. - O
-ésimo termo de uma PG com primeiro termo e razão é
- A soma dos
primeiros termos de uma PG (quando ) é dada por
Para obter uma fórmula fechada para
, fazemos o truque clássico: multiplicamos a soma por
e subtraímos.
Passo 4
Derivação da fórmula da soma (passo a passo):
Escrevendo e
:
Escrevendo
Subtraindo as duas igualdades:
Fatorando o lado esquerdo:
Assim, isolando
:
Essa é a fórmula que vamos usar.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula aos dados do problema:
-
, -
, -
.
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Calcular
manualmente (sem calculadora), mostrando os passos:
Logo
.
Passo 7
Continuando a conta:
Agora multiplicando:
Passo 8
Como checagem rápida (opcional, para ver que faz sentido), somando os termos listados no Passo 2:
Confere com o resultado da fórmula.