Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual o preço ao automóvel?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • As prestações são 7 no total.
  • A primeira prestação vale 100 reais.
  • Cada prestação seguinte é o dobro da anterior.
O que o problema pede:
  • Determinar o preço do automóvel, ou seja, a soma das 7 prestações.

Passo 2

Vamos traduzir as informações para uma sequência numérica que dá pra somar facilmente.
  • Seja a_1 a primeira prestação. Então a_1 = 100.
  • Cada termo é o dobro do anterior, logo a razão da sequência é r = 2.
  • O número de termos é n = 7.
Portanto os termos são
a_1, a_2, \dots, a_7 = 100,\;200,\;400,\;800,\;1600,\;3200,\;6400.

Passo 3

Esses termos formam uma progressão geométrica (PG). Vou explicar o que é uma PG e a fórmula da soma, de forma bem direta:
  • Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante r chamada razão.
  • O k-ésimo termo de uma PG com primeiro termo a_1 e razão r é
a_k = a_1 r^{\,k-1}.
  • A soma dos n primeiros termos de uma PG (quando r\neq 1) é dada por
S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \dots + a_1 r^{\,n-1}.
Para obter uma fórmula fechada para S_n, fazemos o truque clássico: multiplicamos a soma por r e subtraímos.

Passo 4

Derivação da fórmula da soma (passo a passo):
Escrevendo S_n e rS_n:
S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \dots + a_1 r^{\,n-1},
rS_n = a_1 r + a_1 r^2 + \dots + a_1 r^{\,n}.
Subtraindo as duas igualdades:
rS_n - S_n = a_1 r^{\,n} - a_1.
Fatorando o lado esquerdo:
(r-1)S_n = a_1\bigl(r^{\,n}-1\bigr).
Assim, isolando S_n:
S_n = \frac{a_1\bigl(r^{\,n}-1\bigr)}{r-1}.
Essa é a fórmula que vamos usar.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula aos dados do problema:
  • a_1 = 100,
  • r = 2,
  • n = 7.
Substituindo na fórmula:
S_7 = \frac{100\bigl(2^{7}-1\bigr)}{2-1}.

Passo 6

Calcular 2^{7} manualmente (sem calculadora), mostrando os passos:
2^1 = 2,\quad 2^2 = 4,\quad 2^3 = 8,\quad 2^4 = 16,
2^5 = 32,\quad 2^6 = 64,\quad 2^7 = 128.
Logo 2^{7}-1 = 128-1 = 127.

Passo 7

Continuando a conta:
S_7 = \frac{100\cdot 127}{1} = 100\cdot 127.
Agora multiplicando:
100\cdot 127 = 12700.

Passo 8

Como checagem rápida (opcional, para ver que faz sentido), somando os termos listados no Passo 2:
100+200=300,
300+400=700,
700+800=1500,
1500+1600=3100,
3100+3200=6300,
6300+6400=12700.
Confere com o resultado da fórmula.

Resposta

R\$\,12700

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