Ar é comprimido de uma condição inicial (1 bar e 25{ }^{\circ} \mathrm{C} ) ate um estado final ( 5 bar e 25{ }^{\circ} \mathrm{C}) usando 3 caminhos mecanicamente reversíveis
Calcular o calor, o trabalho assim como as variações da entalpia e da energia interna, considerando o comportamento de gás ideal do ar.
(b) Compressão isotérmica

Passo 1

O enunciado (parte (b)) dá uma compressão isotérmica do ar, com as condições:
  • Pressão inicial P_1 = 1\\ \text{bar}.
  • Pressão final P_2 = 5\\ \text{bar}.
  • Temperatura inicial e final T_1 = T_2 = 25{ }^{\circ}\mathrm{C}.
O que pede: calcular o calor Q, o trabalho W, a variação de energia interna \Delta U e a variação de entalpia \Delta H, considerando ar como gás ideal e processo mecanicamente reversível (isotérmico).
Observação importante (assumido porque o enunciado não dá massa/número de mols): os resultados serão apresentados por mol de gás ( n=1\\ \text{mol}). Também apresento, para conveniência prática, os valores por quilograma de ar ( m=1\\ \text{kg}) usando a constante específica do ar.

Passo 2

Relembrando conceitos e convenções (aqui a “aula rapidinha”):
  • Primeira lei da termodinâmica (convenção usual, trabalho W é trabalho feito pelo sistema):
\Delta U = Q - W.
Aqui Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra), e W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o entorno).
  • Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Em particular:
\Delta U = n C_V \Delta T.
  • A entalpia também depende somente da temperatura para gás ideal:
\Delta H = n C_P \Delta T.
Portanto, em um processo isotérmico ( \Delta T = 0) para gás ideal temos imediatamente:
\Delta U = 0,\qquad \Delta H = 0.
Isto significa que, pela primeira lei,
Q = W.
Ou seja: o calor trocado é igual ao trabalho realizado pelo sistema (com a convenção de sinais acima).

Passo 3

Fórmula do trabalho reversível em processo isotérmico (derivação curta):
Para compressão reversível o trabalho infinitesimal é dW = P\,dV (trabalho feito pelo sistema). Como o processo é isotérmico e o gás é ideal vale P V = n R T, então
W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{n R T}{V}\,dV = n R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Usando a relação V \propto 1/P quando T é constante, tem-se \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{P_1}{P_2}. Logo uma forma prática é
W = n R T \ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
Lembre que, para compressão com P_2>P_1, \ln(P_1/P_2)<0 e então W<0 (o sistema realiza trabalho negativo, isto é, trabalho é feito sobre o sistema).

Passo 4

Preparar dados numéricos para cálculo:
  • Converter temperatura: T = 25{ }^{\circ}\mathrm{C} = 298,15\\ \mathrm{K}.
  • Constante universal dos gases: R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Para o ar específico: R_{\text{ar}} \approx 287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} (se quisermos resultados por kg).
Vamos calcular primeiro por mol ( n=1\\ \text{mol}).

Passo 5

Cálculo numérico por mol:
\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{5}\right)=-\ln 5\approx -1{,}6094379.
Produto n R T:
n R T = 1\cdot 8{,}314\cdot 298{,}15 \approx 2478{,}96\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho (feito pelo sistema) é
W = n R T \ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right) \approx 2478{,}96 \times (-1{,}6094379)\approx -3989{,}7\\ \mathrm{J}.
Como em processo isotérmico \Delta U=0 e \Delta H=0, e pela primeira lei Q=W, obtemos
Q \approx -3989{,}7\\ \mathrm{J},\qquad \Delta U = 0,\qquad \Delta H = 0.
Interpretação física: valor negativo para W e Q significa que trabalho é feito sobre o gás (energia entra via trabalho), mas para manter temperatura constante o mesmo valor de energia sai como calor do gás para o entorno — na convenção usada Q negativo indica que calor sai do sistema.

Passo 6

Cálculo numérico por quilograma de ar ( m=1\\ \text{kg}), usando R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}:
W = m R_{\text{ar}} T \ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right) = 1\cdot 287\cdot 298{,}15 \cdot (-1{,}6094379) \approx -137{,}7\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
Assim, por quilograma:
W \approx -137{,}700\\ \mathrm{J},\qquad Q \approx -137{,}700\\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=0,\qquad \Delta H=0.

Resposta

\text{Por mol (}n=1\text{ mol):}\quad Q = -3989{,}7\\ \mathrm{J}\newline
\text{Por mol (}n=1\text{ mol):}\quad W = -3989{,}7\\ \mathrm{J}\newline
\Delta U = 0\newline
\Delta H = 0\newline
\text{Por kg de ar (}m=1\text{ kg):}\quad Q \approx -137{,}700\\ \mathrm{J}\newline
\text{Por kg de ar (}m=1\text{ kg):}\quad W \approx -137{,}700\\ \mathrm{J}

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