A concentração atmosférica média estimada de dióxido de carbono na atmosfera da Terra é apresentada na tabela a seguir, em partes por milhão em volume.
Ano
1800
1850
1900
2000
280
283
291
370
(a) Estimar a concentração de
em 1950 usando um polinômio interpolador de grau 1 de Lagrange.
| Ano
|
1800 | 1850 | 1900 | 2000 |
|
|
280 | 283 | 291 | 370 |
Passo 1
O enunciado fornece a concentração média de
em certos anos e pede uma estimativa para 1950 usando um polinômio interpolador de grau 1 de Lagrange. Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
- Ano
tem (ppm). - Ano
tem (ppm). - Ano
tem (ppm). - Ano
tem (ppm).
O que se pede:
- Estimar a concentração de
em 1950 usando um polinômio interpolador de grau de Lagrange (ou seja, interpolação linear entre dois pontos).
Passo 2
Entendendo o polinômio de Lagrange de grau
(aula rápida e prática).
- Um polinômio de Lagrange de grau
interpola exatamente dois pontos e . Ele é simplesmente a reta que passa por esses dois pontos. - A forma geral é
onde as funções base são
- Aqui
é o ano onde se quer estimar a função; são os anos usados como nós; são as concentrações nesses anos. As são construídas para que e , garantindo que passe pelos dois pontos dados.
Observação prática para a prova: para estimar em
é natural escolher os dois nós mais próximos que “abraçam” 1950, ou seja
e
. Isso dá melhor aproximação do que usar pontos distantes.
Passo 3
Escolhendo os nós e escrevendo
.
- Tomo
com e com . - Então
- O polinômio interpolador é
Passo 4
Avaliar
em
(cálculo passo a passo, sem pular contas).
- Calcule
:
- Calcule
:
- Agora
- Some:
Passo 5
Interpretação e método alternativo (mesma conta, jeito diferente).
- Como 1950 está no ponto médio entre 1900 e 2000, a interpolação linear dá a média aritmética dos valores em 1900 e 2000:
- Alternativamente, pela equação da reta: inclinação
Então
Todas essas formas coincidem com o valor calculado.
Passo 6
Observações finais e dica de prova.
- Resultado é uma estimativa linear entre 1900 e 2000; se a curva real for não linear, pode haver erro, mas para um exercício pedindo Lagrange de grau
isso é exatamente o procedimento exigido. - Na prova: escreva claramente os nós escolhidos, escreva as
, calcule no ponto pedido e então forme . Se o ponto estiver no meio dos nós, a média pode ser usada para checar rapidez.