A concentração atmosférica média estimada de dióxido de carbono na atmosfera da Terra é apresentada na tabela a seguir, em partes por milhão em volume.
Ano (x) 1800 1850 1900 2000
\mathrm{CO}_{2}(\mathrm{ppm})(f(x)) 280 283 291 370
(a) Estimar a concentração de \mathrm{CO}_{2} em 1950 usando um polinômio interpolador de grau 1 de Lagrange.

Passo 1

O enunciado fornece a concentração média de \mathrm{CO}_2 em certos anos e pede uma estimativa para 1950 usando um polinômio interpolador de grau 1 de Lagrange. Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
  • Ano \;x=1800 tem \;f(x)=280 (ppm).
  • Ano \;x=1850 tem \;f(x)=283 (ppm).
  • Ano \;x=1900 tem \;f(x)=291 (ppm).
  • Ano \;x=2000 tem \;f(x)=370 (ppm).
O que se pede:
  • Estimar a concentração de \mathrm{CO}_2 em 1950 usando um polinômio interpolador de grau 1 de Lagrange (ou seja, interpolação linear entre dois pontos).

Passo 2

Entendendo o polinômio de Lagrange de grau 1 (aula rápida e prática).
  • Um polinômio de Lagrange de grau 1 interpola exatamente dois pontos (x_0,f(x_0)) e (x_1,f(x_1)). Ele é simplesmente a reta que passa por esses dois pontos.
  • A forma geral é
p_1(x)=f(x_0)\,L_0(x)+f(x_1)\,L_1(x),
onde as funções base são
L_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1},\qquad L_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}.
  • Aqui x é o ano onde se quer estimar a função; x_0,x_1 são os anos usados como nós; f(x_0),f(x_1) são as concentrações nesses anos. As L_i(x) são construídas para que L_0(x_0)=1,\,L_0(x_1)=0 e L_1(x_0)=0,\,L_1(x_1)=1, garantindo que p_1 passe pelos dois pontos dados.
Observação prática para a prova: para estimar em \;x=1950 é natural escolher os dois nós mais próximos que “abraçam” 1950, ou seja \;x_0=1900 e \;x_1=2000. Isso dá melhor aproximação do que usar pontos distantes.

Passo 3

Escolhendo os nós e escrevendo p_1(x).
  • Tomo x_0=1900 com f(x_0)=291 e x_1=2000 com f(x_1)=370.
  • Então
L_0(x)=\frac{x-2000}{1900-2000}=\frac{x-2000}{-100},\qquad L_1(x)=\frac{x-1900}{2000-1900}=\frac{x-1900}{100}.
  • O polinômio interpolador é
p_1(x)=291\cdot\frac{x-2000}{-100}+370\cdot\frac{x-1900}{100}.

Passo 4

Avaliar p_1 em \;x=1950 (cálculo passo a passo, sem pular contas).
  • Calcule L_0(1950):
L_0(1950)=\frac{1950-2000}{-100}=\frac{-50}{-100}=0,5.
  • Calcule L_1(1950):
L_1(1950)=\frac{1950-1900}{100}=\frac{50}{100}=0,5.
  • Agora
p_1(1950)=291\cdot 0,5 + 370\cdot 0,5.
  • Some:
291\cdot 0,5 = 145,5,\qquad 370\cdot 0,5 = 185,
p_1(1950)=145,5 + 185 = 330,5.

Passo 5

Interpretação e método alternativo (mesma conta, jeito diferente).
  • Como 1950 está no ponto médio entre 1900 e 2000, a interpolação linear dá a média aritmética dos valores em 1900 e 2000:
p_1(1950)=\frac{291+370}{2}=330,5.
  • Alternativamente, pela equação da reta: inclinação
m=\frac{370-291}{2000-1900}=\frac{79}{100}=0,79\\ \text{(ppm/ano)}.
Então
p_1(1950)=291 + m\cdot(1950-1900)=291 + 0,79\cdot 50=291+39,5=330,5.
Todas essas formas coincidem com o valor calculado.

Passo 6

Observações finais e dica de prova.
  • Resultado é uma estimativa linear entre 1900 e 2000; se a curva real for não linear, pode haver erro, mas para um exercício pedindo Lagrange de grau 1 isso é exatamente o procedimento exigido.
  • Na prova: escreva claramente os nós escolhidos, escreva as L_i(x), calcule L_i no ponto pedido e então forme p_1(x). Se o ponto estiver no meio dos nós, a média pode ser usada para checar rapidez.

Resposta

\;330,5\\ \text{ppm}

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